Movimiento browniano con 2 fronteras absorbentes

Question

Consideremos el proceso estocástico \begin{equation*} X_t = \mu t + \sigma W_t \end{equation*} donde $W_t$ es el movimiento browniano estándar. Supongamos que $X_0 = x \in (0,1)$ y que $0$ et $1$ son fronteras absorbentes. Me gustaría saber cómo abordar las siguientes cuestiones:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que $X_t$ se absorberá en el $x=1$ es decir, ¿cuál es la probabilidad de que $X_t$ hits $x = 1$ sin golpear nunca $x = 0$ .
2. ¿Cuál es la probabilidad de que $X_t$ ¿nunca será absorbido?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que $X_t$ permanecerá sin absorber después de $t > T$ ?

Mi opinión

Sé que si sólo hay un límite en $x = 1$ entonces la probabilidad de acertar $x = 1$ en algún momento $t > T$ viene dada por \begin{equation} Prob(T(1) > T) = \int_{-\infty}^{1-x}e^{-\frac{1}{2}\frac{(s-\mu T)^2}{\sigma^2 T}}ds - e^{\frac{2\mu(1-x)}{\sigma^2}}\int_{-\infty}^{x-1}e^{-\frac{1}{2}\frac{(s-\mu T)^2}{\sigma^2 T}}ds. \end{equation} La fórmula puede derivarse utilizando el principio de reflexión y algún cambio de medida. Podemos ver que la probabilidad se aproxima a cero a medida que $T\rightarrow \infty$ . Por lo tanto, en el caso de una frontera, $X_t$ sería absorbido a.s. Sin embargo, no estoy seguro de cómo obtener una fórmula similar si también tenemos un límite en $x = 0$ ya que no creo que se aplique la técnica del principio de reflexión. Sin embargo, añadir un límite en $x = 0$ no cambiará la respuesta a 2, es decir, hay una probabilidad cero de que $X_t$ nunca será absorbido.

Answer 1

Aunque supongo que esto ya ha sido contestado en MSE en algún lugar voy a presentar lo que sé al respecto.

Primero permítanme hacer algunas anotaciones. Para un proceso $Y$ deje

$T_a^Y := \inf \{t:Y_t =a\}$ et $T^Y_{a,b} = \min (T^Y_a , T^Y_b)$

Por simplicidad $\sigma = 1, \mu \geq 0$ .

En primer lugar, la respuesta a 2. está clara por $\Bbb P (T^X_{0,1} < \infty)\geq \Bbb P (T_{1}^X < \infty) \geq \Bbb P (T_1^W < \infty) =1$ . La última desigualdad se deduce del hecho de que la deriva es positiva. Que la última probabilidad sea $1$ es bien conocido por la teoría del movimiento browniano.

Llegados a este punto, permítanme señalar que algunas partes del problema pueden reformularse como un problema de tiempo de primer paso de dos caras sobre fronteras lineales afines dependientes del tiempo, es decir, para una función (continua) $b: [0,\infty ) \to \Bbb R$ denota el tiempo de impacto (o tiempo de primer paso) como $\tau_b^Y := \inf\{ t: Y_t = b(t) \}$ . Entonces para $b_+(t) = 1 - \mu t$ et $b_-(t) = -\mu t$ tenemos que

$$\Bbb P (T^X_{0,1} > t) = \Bbb P (\tau^W_{b_+ , b_-} > t)$$

Descubrí que Una modificación de la prueba secuencial de cociente de probabilidades para reducir el tamaño de la muestra de Anderson (1960) parece cubrir esta situación.

(Texto antiguo de esta parte: Hasta donde yo sé para funciones lineales afines $b_i (t) = \alpha_i + \beta_i t$ probabilidades de acierto $\Bbb P (\tau_{b_1 ,b_2}^W > t)$ sólo se han establecido aún para $\alpha_1 < \alpha_2$ et $\beta_1 < 0 < \beta_2$ (véase, por ejemplo Algunos resultados de cruce condicional del movimiento browniano sobre una frontera a trozos lineal de Mario Abundo (2002) en Statistics & Probability Letters 58), que no cubre su caso. )

Pero su problema como caso especial es aún más sencillo. Por el teorema de Girsanov $(X_s)_{s\in [0,t]}$ es un movimiento browniano bajo la medida $\Bbb Q_t =L_t d \Bbb P$ en $\mathcal F_t = \sigma (X_s , s\in [0,t])$ donde $L_t = \exp (-\mu W_t - \frac 1 2 \mu^2 t )= \exp (-\mu X_t + \frac 1 2 \mu^2 t)$ .

Para abordar el tema 2. $A^X = \{T^X_{0,1} > t\} \in \mathcal F_t$ que depende de alguna manera particular de la ruta $(X_s)_{s\in[0,t]}$ . Hablando en densidades podemos hacer los siguientes cálculos informales (que pueden hacerse rigurosos)

$$\Bbb P(X_t = z , A^X) = \Bbb E_{\Bbb P} [ 1_{A^X}1_{\{X_t = z\}}] = \Bbb E_{\Bbb P} [ 1_{A^X}1_{\{X_t = z\}} \frac 1 {L_t} L_t]\\ = \Bbb E_{\Bbb Q_t} [ 1_{A^X}1_{\{X_t = z\}} \exp (\mu X_t - \frac 1 2 \mu^2 t)] = \Bbb E_{\Bbb P} [ 1_{A^W}1_{\{W_t = z\}} \exp (\mu W_t - \frac 1 2 \mu^2 t)]\\ = \Bbb E_{\Bbb P} [ 1_{A^W}1_{\{W_t = z\}} \exp (\mu z - \frac 1 2 \mu^2 t)] = \Bbb P (W_t = z , A^W) \exp (\mu z - \frac 1 2 \mu^2 t)$$

donde por $A^W = \{T^W_{0,1} > t\}$ . Así, el acontecimiento $A^W$ depende de la ruta $(W_s)_{s\in[0,t]}$ del mismo modo $A^X$ hace el $(X_s)_{s\in[0,t]}$ .

Ahora la ventaja es: La densidad $$\Bbb P ( W_t = z , T^W_{0,1} > t)$$ para $z\in (0,1)$ se conoce y hay esencialmente dos representaciones (una es buena para grandes $t$ el otro para los pequeños $t$ ) (véase, por ejemplo Movimiento browniano y teoría clásica del potencial por Port y Stone en la proposición 8.2 del capítulo 2 o Movimiento browniano y cálculo estocástico por Karatzas y Shreve en la Proposición 8.10 del Capítulo 2 ).

Así pues, tenemos $$\Bbb P (T^X_{0,1} > t) = \int_0^1 \Bbb P(X_t = z , T^x_{0,1} > t) dz = \int_0^1 \Bbb P (W_t = z , T^W_{0,1} > t) \exp (\mu z - \frac 1 2 \mu^2 t) dz$$

que puede calcularse más adelante.

De hecho, se podría intentar abordar el punto 1 de la misma manera: Fijando $A^X = \{T^X_1 < T^X_0 , T^X_{0,1} \leq t\}$ obtenemos $$\Bbb P (T^X_1 < T^X_0) = \lim_{t\to \infty} \Bbb P (T^X_1 < T^X_0 , T^X_{0,1} \leq t)\\= \lim_{t\to \infty} \int_{\Bbb R} \Bbb P (W_t = z,T^W_1 < T^W_0 , T^W_{0,1} \leq t) \exp (\mu z - \frac 1 2 \mu^2 t) d z \\= \lim_{t\to \infty} \int_{\Bbb R} \Bbb P (W_t = z,W_{T^W_{0,1}} =1, T^W_{0,1} \leq t) \exp (\mu z - \frac 1 2 \mu^2 t) d z$$

Por la propiedad de Markov fuerte

$$\Bbb P (W_t = z,W_{T^W_{0,1}} =1, T^W_{0,1} \leq t) = \int_0^t \Bbb P (W_{t-s} = z | W_0 =1) p(s)ds$$

donde $p(s) = -\frac{d}{ds} \Bbb P (T^W_{0,1} > s)$ es la densidad de $T^W_{0,1}$ .