Factor $(a^2+2a)^2-2(a^2+2a)-3$ completamente

Question

Tengo una pregunta que pide factorizar completamente esta expresión:

$$(a^2+2a)^2-2(a^2+2a)-3$$

Mi ejercicio:

$$a^4+4a^3+4a^2-2a^2-4a-3$$ $$=a^4+4a^3+2a^2-4a-3$$ $$=a^2(a^2+4a-2)-4a-3$$

Estoy atascado aquí. No sé cómo proceder correctamente.

Answer 1

Aunque tu trabajo es correcto, no podrás seguir adelante. El truco es dejar que $y=a^2+2a$ . Entonces su expresión se convierte en

$y^2-2y-3$

$=(y-3)(y+1)$

$=(a^2+2a-3)(a^2+2a+1)$

$=(a+3)(a-1)(a+1)^2$

Answer 2

Si asigna $$ a^2 + 2a = x $$ obtendrás: $$ x^2 - 2x - 3 $$ Teniendo en cuenta que $$ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x+1) $$ obtendrás: $$ (a^2 + 2a - 3)(a^2 + 2a+1) = (a + 3)(a - 1)(a + 1)^2 $$

Answer 3

Cuando hagas este tipo de problemas, primero trata de encontrar un término común. Aquí puedes ver que el término común no se podía separar de la manera más fácil. Por lo tanto, la mejor manera es simplemente llevar el término común más posible a una nueva variable.

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Que la variable sea $t$ aquí.

Así que, $$ t=a^2+2a$$ Así, su ecuación se convierte en:

$$ t^2 - 2t - 3 $$ Ahora es fácil. La ecuación se reduce a una ecuación cuadrática. Ahora se puede resolver fácilmente.

$$ t^2-2t-3 = (t-3)(t+1)$$

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Por último, introduzca el valor de $t$ : $$ (a^2 + 2a - 3)(a^2 + 2a+1)$$

$$\implies(a+1)^2(a+3)(a-1)$$

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P.D. Mientras escribía la solución, Jasper y Hayk también han dado la misma solución.

Answer 4

O si te perdiste el truco de Jasper Loy, puedes adivinar y comprobar un valor de $a$ para lo cual $$f(a) = a^4 +4a^3 +2a^2 −4a−3 = 0.$$

Por ejemplo, f(1) = 0 por lo que $(a-1)$ es un factor y puedes usar la división larga para factorizarlo.

Answer 5

A menudo, un problema se nos presenta de una forma poco conveniente. En este caso, podemos observar la forma cuadrática: $$(a^2+2a)^2−2(a^2+2a)−3$$ Podemos adivinar que será un factor en cuatro factores, así que vamos a encontrar las cuatro raíces, a través de poner la ecuación a cero y resolver. $$(a^2+2a)^2−2(a^2+2a)−3=0$$ Completemos el cuadrado: $[(a^2+2a)-1]^2=4$ entonces $a^2+2a-1=\pm2$ . Resolvemos las dos ecuaciones, $a^2+2a-3=0$ y $a^2+2a+1=0$ . Esto dará raíces reales, por lo que podemos factorizar completamente el polinomio anterior. Te dejaré terminar.