¿Existe alguna medida de probabilidad, $p$ el $\left(\left[0,1\right],2^{\left[0,1\right]}\right)$ con respecto a la cual algunos $D\subseteq\left[0,1\right]$ no puede ser aproximado por un conjunto de Borel, es decir, si $E$ es cualquier conjunto de Borel $E\in\mathfrak{B}\left(\left[0,1\right]\right)$ , $p\left(D\Delta E\right)>0$ ?
Respuesta
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hot_queen
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Sí. Suponiendo que exista un cardinal real mensurable, esto será cierto para cualquier extensión total $p$ de medida de Lebesgue en $[0, 1]$ . Esto se debe a que el álgebra de medidas de cualquier extensión de este tipo no es separable. Este hecho se debe a Gitik y Shelah.
Si desea construir directamente una medida de este tipo, puede empezar con un modelo de $GCH$ con un cardinal medible $\kappa$ y añada $\kappa$ reales aleatorios. En el modelo resultante (debido a Solovay), $2^{\omega} = \kappa$ y se puede construir fácilmente una extensión total $p$ de medida de Lebesgue tal que el álgebra de medidas de $p$ es isomorfo al forzamiento aleatorio para sumar $(2^{\omega})^{+}$ muchos reales aleatorios.
Edición: Creo que lo siguiente también es válido: Sea $p$ cualquier medida total sobre $[0, 1]$ que se desvanece en singletons. Entonces existe un conjunto $X$ tal que $p(X \cap E) = p(X^c \cap E) = p(E)/2$ para todo conjunto de Borel $E$ . Esto se deduce del resultado de Gitik Shelah mencionado anteriormente combinado con un teorema de Maharam.
