Expresar la PDF como una integral

Question

Si U y V son variables aleatorias normales independientes, cada una con media 0 y varianza 1, y si $$W={U\over V}$$ Utilizar un argumento condicionante, o de otro modo, de modo que para cualquier $w \mathbb{R}$ expresar la cantidad $F_W (w) = \mathbb{P} [W w]$ como una integral.

¿Estaría en lo cierto con la solución $F_W (w) = \mathbb{P} [W w] = \int_0^1{F_V (wv)dv}$ ?

Answer 1

Por definición, y utilizando la independencia

$$F_{\frac UV}(w)=P\left(\frac UV <w\right)=\int_{-\infty}^{\infty}P\left(\frac Uv<w\ \mid\ V=v\right)f_V(v)dv=$$ $$=\int_{-\infty}^{\infty}P\left(\frac Uv<w\right)f_V(v)dv=$$ $$=\int_{-\infty}^{0}P\left(U>vw\right)f_V(v)dv+\int_{0}^{\infty}P\left(U<vw\right)f_V(v)dv=$$ $$=\int_{-\infty}^{0}(1-P\left(U\le vw\right))f_V(v)dv+\int_{0}^{\infty}P\left(U<vw\right)f_V(v)dv=$$ $$=\int_{-\infty}^0f_V(v)\ dv-\int_{-\infty}^{0}F_U(vw)f_V(v)dv+\int_{0}^{\infty}F_U(vw)f_V(v)dv=$$ $$=\int_{-\infty}^0f_V(v)\ dv-\int_{-\infty}^{0}\int_{-\infty}^{vw}f_U(x)\ dxf_V(v)dv+\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{vw}f_U(x)\ dxf_V(v)dv.$$

Para obtener el pdf del cociente tomamos la derivada de la expresión anterior respecto a $w$ .

$$f_{\frac UV}(w)=\frac d{dw}F_{\frac UV}(w)=$$ $$=\frac d{dw}\left[-\int_{-\infty}^{0}\int_{-\infty}^{vw}f_U(x)\ dxf_V(v)dv+\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{vw}f_U(x)\ dxf_V(v)dv\right]=$$

$$=\int_{-\infty}^{0}\frac d{dw}\left[-\int_{-\infty}^{vw}f_U(x)\ dx\right]f_V(v)dv+\int_{0}^{\infty}\frac d{dw}\left[\int_{-\infty}^{vw}f_U(x)\ dx\right]f_V(v)dv=$$ $$=\int_{-\infty}^{0}(-v)f_U(vw)f_V(v)dv+\int_{0}^{\infty}vf_U(vw)f_V(v)dv=$$ $$=\int_{-\infty}^{\infty}\mid v\mid f_U(vw)f_V(v)dv.$$

... y esto es independiente de la normalidad de las distribuciones implicadas. La única restricción es que la fdp de $V$ existir. ( $P(V=0)=0$ es importante).

Si tomamos dos variables normales estándar independientes entonces la integral a evaluar se convierte en

$$f_{\frac UV}(w)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mid v\mid e^{-\frac12v^2(1+w^2)}\ dv=\frac1{\pi}\frac1{1+w^2}.$$ Como es sabido: la distribución de razón de dos variables aleatorias normales estándar independientes es la forma simple de la distribución de Cauchy obtenida anteriormente.

Answer 2

$$F_W(w)=\mathbb P[W<w]=\iint_{u/v\le w}f_U(u)f_V(v)\,du\,dv$$ La desigualdad $u/v\le w$ es equivalente a $u\ge vw$ para $v<0$ y a $u\le vw$ para $v>0$ . Dividir la integral exterior en dos integrales: $$\tag{*}\label{*}F_W(w)=\int_{-\infty}^{0}\int^{\infty}_{vw}f_U(u)f_V(v)\,du\,dv+\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{vw}f_U(u)f_V(v)\, du \,dv$$ $$F_W(w)=\int_{-\infty}^{0}(1-F_U(vw))f_V(v)\,dv+\int_{0}^{\infty}F_U(vw)f_V(v)\, dv$$ Entonces podemos utilizar la simetría de la distribución normal estándar $F_U(x)=1-F_U(-x)$ y reescribir $$F_W(w)=\int_{-\infty}^{0}F_U(-vw)f_V(v)\,dv+\int_{0}^{\infty}F_U(vw)f_V(v)\, dv$$ Sustitución $-v=\nu$ en la primera integral conduce a $$F_W(w)=\int^{\infty}_{0}F_U(\nu w)f_V(\nu)\,d\nu+\int_{0}^{\infty}F_U(vw)f_V(v)\, dv=2\int_{0}^{\infty}F_U(vw)f_V(v)\, dv$$

Encontremos también pdf de $U/V$ en caso general. Empezar con (\ref{*}) y cambiar las variables en ambas integrales internas: $u\mapsto t$ s.t. $u=tv$ . Tenga en cuenta que $v<0$ dentro de la primera integral interna y $v>0$ en la segunda. $$F_W(w)=\int_{-\infty}^{0}\int^{-\infty}_{w}f_U(tv)f_V(v)v\,dt\,dv+\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{w}f_U(tv)f_V(v)v\, dt \,dv=$$ $$\int_{-\infty}^{0}\int_{-\infty}^{w}f_U(tv)f_V(v)|v|\,dt\,dv+\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{w}f_U(tv)f_V(v)|v|\, dt \,dv = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{w}f_U(tv)f_V(v)|v|\, dt \,dv$$ Cambiamos el orden de integración por el teorema de Tonelli para funciones no negativas y obtenemos $$F_W(w)= \int_{-\infty}^{w} \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}f_U(tv)f_V(v)|v|\, dv}_{f_{U/V}(t)} \,dt.$$

Answer 3

Necesitarías la integral doble: $$\iint_{u/v\le w}f_U(u)f_V(v)\text{d}(u,v)=\int_{-\infty}^{0}\int_{vw}^{\infty}f_U(u)f_V(v)\text{d}(u,v)+\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{vw}f_U(u)f_V(v)\text{d}(u,v)$$