Un Olimpíadas de Matemáticas pregunta con respecto a la Geometría

Question

Un poco de historia de fondo (puede omitir este paso si se desea): Mi escuela secundaria profesor de matemáticas sabe que me encantan las matemáticas, pero él también sabe que por lo general la deriva durante mis clases, tal vez porque es demasiado fácil, tal vez porque es demasiado lento, no sé por qué exactamente, pero estoy seguro de que muchos de los asiduos de este sitio saben cómo se siente. Cuando yo la deriva fuera de sí que pienso acerca de las matemáticas, pero sobre distintas cosas, por ejemplo, en mi última clase de matemáticas en la semana anterior (estamos hablando de los fundamentos de las integrales, que ya lo hice por diversión un par de meses antes) he demostrado la ecuación cuadrática. Mi maestro vio que yo estaba aburrido y le pregunté a mi ¿por qué nunca he participado en los juegos olímpicos, y francamente, yo nunca sabía acerca de ellos (ahora es demasiado tarde para mí, este fue el último año que estuve elegibles). Él me dio el papel para la segunda ronda de los holandeses de la Olimpiada y el problema final inmediatamente apresado mi ojo; el diario dijo que el 0% de los participantes resuelto este problema. Así que, siendo como soy, me caso omiso de todos los problemas y de inmediato se centró en este. Me tomó 20 minutos en la mayoría de los que me sorprendió, pero no puedo encontrar las soluciones en cualquier lugar, así que quiero preguntar si mi respuesta es correcta en este sitio. No estoy muy enterado si esto es contra las reglas, soy nuevo aquí.

El problema original:

Un indicador en la forma de un triángulo equilátero está conectado a la parte superior de 2 postes verticales. Uno de los polos tiene una longitud de 4 y el otro polo tiene una longitud de 3. Usted también sabe que el tercer vértice toca el suelo perfectamente. Calcular la longitud de un lado. Calculadoras, no están permitidos. En la siguiente imagen se anexa:

Mi solución:

Por alguna razón, de inmediato supe cómo resolver el problema. Una imagen dice más que 1000 palabras:

Lo cual nos deja con $$x^2 = 1 + (\sqrt{x^2-16} + \sqrt{x^2-9})^2$$

$$x^2 = 1 + x^2-16 + x^2-9 + 2\sqrt{(x^2-16)(x^2-9)}$$

$$ -x^2 + 24 = 2\sqrt{(x^2-16)(x^2-9)}$$

A continuación, sólo la plaza, el avance rápido de un par de muy desordenado pasos (que podría incluir, pero creo que está claro) y obtenemos $x = \sqrt{17 \dfrac{1}{3}}$

Preguntas:

• Es mi respuesta correcta? Sé que puede haber cometido un error en el álgebra, pero es el principal razonamiento correcto?

• ¿Por qué este problema se considera como duro? Me refiero a que si (casi) nadie en realidad tiene, debe haber una razón por qué? Este fue un año en que los países Bajos tiene sólo 1 de bronce y 3 menciones de honor, por lo que no era el brighest generación, pero todavía estoy confundido.

Answer 1

Sin duda es una forma válida de resolver el problema. Podría ser una linda forma de razonamiento que corta toda la computación, pero siempre hay un poco de suerte a la hora de encontrar algo como eso.

¿Por qué iba a ser considerados duro? Un montón de highschoolers (en los estados unidos al menos) a tener problemas en la configuración de word problemas como este, e incluso si se puede, que podría ser derrotado en el intento de resolver la ecuación resultante. Tal vez se trata de "olímpico" sólo para hacer el cálculo.

De todos modos, entiendo tu decepción con este problema. Tal vez alguien va a ver una clave que desvela el problema, sin un montón de escribir!!!

Answer 2

O vectores. Si piensas un poco, te darás cuenta de que la altura del centro está a sólo $1/3$ de la suma de las alturas de las esquinas, por lo que el centro está a la altura de la $7/3$ desde el suelo. La siguiente cosa que usted puede darse cuenta es que la suma de los cuadrados de las distancias a partir de una línea por el centro a los vértices también no depende de la rotación (se puede ver por qué?). Por lo tanto, esta suma es $\frac{49+4+25}9=\frac{26}3$. Se relacionan con el lado de la longitud de $a$ es un pedazo de la torta (basta con pensar en la línea de que es una altura del triángulo y obtenga $2(a/2)^2=a^2/2$). Por lo tanto $\frac{a^2}{2}=\frac{26}3$$a=\sqrt{\frac{52}3}$.

Answer 3

He aquí una forma relativamente sencilla con sólo algunos conceptos básicos de trigonometría. Basado en este diagrama:

Tenemos $$\sin\alpha=\frac3s$$ $$s\sin\beta=4$$ Sin embargo, observe que $\beta=120^{\circ}-\alpha$. La aplicación de nuestro resta regla para $\sin$, tenemos $$\left(\sin120^{\circ}\cos\alpha\cos120^{\circ}\sin\alpha\right)=4\\ \implica s\left( \frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha \right)=4$$ Ahora note que $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$. La combinación de esta con la primera ecuación, tenemos $$\left( \frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha \right)=4\\ \implica s\left( \frac{\sqrt3}{2}\sqrt{1-\frac{9}{s^2}}+\frac{3}{2} \right)=4\\ \implica 3+\sqrt{3^2 y el 27}=8\\ \implica que s=\sqrt{\frac{52}3}$$ No sé si esta es la "bonita respuesta" su intención, pero es bastante simple y directo deriviation.

De hecho, jugando más con esto, hay un elegante generalización. Si usted necesita para adaptarse a un triángulo equilátero en un trapecio con alturas $a$ $b$ (el original tenía alturas de 3 y 4), la fórmula para la longitud lateral es $$s=\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{\frac{a^3+b^3}{a+b}}=\frac{1}{\sin{60^{\circ}}}\sqrt{\frac{a^3+b^3}{a+b}}$$

Answer 4

Una posible aproximación a este problema es el uso de la trigonometría y coordenadas polares. Considerar el centro del triángulo de ser el origen, y cada punto del triángulo, siendo un radio fijo $r$ y algunos de rodamiento $\theta$ fuera de ella. Estos rodamientos se puede expresar como $\alpha$, $\alpha+\frac{2\pi}{3}$, y $\alpha+\frac{4\pi}{3}$ respectivamente, y el $y$-coordenadas de estos puntos pueden ser representados como $r \sin \alpha$, $r \sin (\alpha+\frac{2\pi}{3})$, y $r \sin (\alpha+\frac{4\pi}{3})$ respectivamente.

Dado su descripción, tenemos el siguiente problema: Encontrar el valor de $\alpha$ (o una representación de ella mediante una función trigonométrica) tal que $4 (\sin \alpha - \sin (\alpha+\frac{2\pi}{3})) = \sin (\alpha+\frac{4\pi}{3}) - \sin (\alpha+\frac{2\pi}{3})$. A continuación, utilice el ángulo de la suma de las identidades de las piezas de este, encontrar el valor de $r$, de modo que $\sin \alpha - \sin (\alpha+\frac{2\pi}{3}) = 1$, y su respuesta es $r\sqrt{3}$.

Esta solución implica un montón de escritura, a pesar de que, para calcular lo $\alpha$$r$.