¿Cómo puedo demostrarlo? Sea $f:\mathbb{R}^k\longrightarrow{\mathbb{R}}$ y, para cada $a\in{\mathbb{R}^k}$ defina $$f_a(x)=f(x)+a_1x_1+...+a_kx_k.$$ Para casi todos los $a\in{\mathbb{R}^k}$ , $f_a$ es una función Morse.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Supongo que el codominio de $f$ es $\mathbb{R}$ pas $\mathbb{R}^k$ De lo contrario, no tiene sentido.
Sea $g\colon\mathbb{R}^k\rightarrow\mathbb{R}^k$ definido por: $$g(x):=(\partial_{x_1}f(x),\ldots,\partial_{x_k}f(x)).$$ Entonces, fíjate que uno tiene: $$\mathrm{d}_xf_a=g(x)+a.$$ Por lo tanto, $x$ es un punto crítico de $f_a$ sólo si $g(x)=-a$ .
Supongamos que $-a$ es un valor regular de $g$ y que $x$ sea un punto crítico de $f$ entonces $x$ es un punto crítico no degenerado de $f$ ya que ${\mathrm{d}^2}_xf_a=\mathrm{d}_xg$ es suryectiva y, por tanto, invertible.
Por último, utilizando el teorema de Sard para casi todas las $a$ , $-a$ es un valor regular de $g$ de modo que para casi todos los $a$ , $f_a$ es una función Morse.