Resolución de desigualdades con integrales: $0<\int _{ 100 }^{ 200 }{ \frac { \sin(\pi x) }{ x } dx<\frac { 1 }{ 100\pi } } $

Question

Alguien me puede explicar como mostrar esto de una manera rapida

$$0<\int _{ 100 }^{ 200 }{ \frac { \sin(\pi x) }{ x } dx<\frac { 1 }{ 100\pi } } $$

$0<\int _{ 2n }^{ 2n+2 }{ \frac { \sin(\pi x) }{ x } dx<\frac { 1 }{ \pi } } *(\frac { 1 }{ n } -\frac { 1 }{ n+1 } )$ Ya lo mostré antes, dividiendo la integral y estimándola frente a 1/n y 1/n+1 sin embargo utilicé el hecho de que puedo omitir te 1/x si le doy el valor máximo/mínimo que puede tener. Pero no puedo hacer esto con este porque no sé acerca de Máximo / Mínimo

Answer 1

Podemos darnos cuenta de ello:

$$I = \int_{0}^{+\infty}\sin(\pi x)\left(\frac{1}{x+100}-\frac{1}{x+200}\right)\,dx \stackrel{\mathcal{L}}{=} \int_{0}^{+\infty}\frac{\pi}{\pi^2+s^2}\left(e^{-100s}-e^{-200 s}\right)\,ds $$ por una propiedad útil de la transformada de Laplace. De ello se deduce que $I>0$ et $$ I < \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-100s}}{\pi}\,ds = \frac{1}{100\pi} $$ como querían. De hecho, hemos $$ 0 < I < \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\pi}\left(e^{-100s}-e^{-200s}\right)\,ds = \frac{1}{200\pi}. $$

Answer 2

Observa que esta función que quieres estudiar tiene $0$ en cada punto entero. Esto sugiere utilizar Fórmula de Euler-Maclaurin con $$f(x)=\frac{\sin{\pi x}}{x}$$ y mover la integral a un lado y el resto al otro: $$ \int_{100}^{200} f(x)\,dx \approx\sum_{n= 100}^{200} f(n) - \frac{f(200) + f(100)}{2} - \sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k - 1)}(200) - f^{(2k - 1)}(100))$$ La mayoría de los plazos van a cero. Así que obtenemos $$ \int_{100}^{200} f(x)\,dx \approx\sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k - 1)}(100) - f^{(2k - 1)}(200))$$ $$=\frac{\pi }{2400}+\frac{1}{720} \left(\frac{\pi ^3}{200}-\frac{21 \pi }{4000000}\right)+ \cdots= 0.001309+0.000215298$$ Como siempre que se evalúan sumas asintóticas, el error es del mismo orden de magnitud que el último término que omitimos, así que sólo tomamos el primer término para obtener $$\int_{100}^{200} f(x)\,dx \approx \frac{\pi }{2400}$$ con un error inferior a $0.0003$ . Esto es suficiente para mostrar su límite.

Answer 3

Como no he estudiado la Fórmula de Euler Maclaurine, no puedo entender sus resultados, pero sin embargo he encontrado otra posibilidad para resolverlo. He puesto la Integral con Índice n en los límites, Todo lo que uno tiene que hacer es dividir la integral en dos partes para n = 50 entonces calculas la integral de 100 a 150 y la evalúas a 1/100Pi y luego hacer lo mismo de nuevo de 150 a 200.