Véase Armónicos esféricos vectoriales y momento angular total .
¿Por qué nos cuesta entender esta pregunta? Cuando pensamos en el momento angular y los campos ópticos, solemos pensar en haces de luz paraxiales. Estos haces tienen momento angular de espín ( SAM ) debido a la rotación local de su vector de polarización y momento angular orbital ( OAM ) si su patrón espacial es el de un modo gaussiano de Laguerre de orden superior. El perfil espacial de estos haces es esencialmente invariable en función de la distancia a lo largo del eje de propagación. Esta simetría a lo largo del eje de propagación hace que sea muy fácil ver dónde está el SAM y donde el OAM respectivamente en directo. Además, la naturaleza del momento angular no cambia a lo largo de la viga. También esta intuición con haces se basa en o intuición con ondas planas que tienen momento lineal constante en todo el espacio.
Sin embargo, la cuestión que consideramos aquí de un átomo que emite luz en todas las direcciones del espacio es diferente. Ya no podemos seguir nuestra intuición de los rayos.
Sin entrar en demasiados detalles en lugar de tomar ondas planas con diferentes polarizaciones como nuestra base para las funciones vectoriales que abarcan el espacio de todos los posibles campos eléctricos o magnéticos vectoriales, podemos utilizar la base de Armónicos esféricos vectoriales . Por supuesto, existen fórmulas de cambio de base que relacionan estas dos bases. El patrón de radiación dipolar que ilustré en ¿Cuál es el diagrama de radiación de un dipolo eléctrico que gira en el plano horizontal? es un ejemplo de vector armónico esférico.
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En Armónicos esféricos vectoriales y momento angular total se explica que los armónicos esféricos vectoriales tienen un valor fijo para el momento angular total $\boldsymbol{J}$ sino que son superposiciones de ópticas orbitales, $\boldsymbol{L}$ y spin óptico, $\boldsymbol{S}$ momento angular.
Esto concuerda con nuestra intuición sobre el patrón de radiación dipolar descrito anteriormente. Podemos ver que en partes del patrón (arriba y abajo) vemos luz polarizada circularmente que sabemos que transporta SAM , pero en otras partes (plano horizontal) vemos luz polarizada linealmente que gira en función del ángulo azimutal. Sabemos que este patrón lleva OAM .
Esta superposición de diferentes estados de $\boldsymbol{L}$ y $\boldsymbol{S}$ es la misma que para el caso de la adición de momento angular en un átomo. Los estados con valores bien definidos para $J_z$ son superposiciones de estados con valores bien definidos de $L_z$ y $S_z$ . Y lo mismo ocurre con el diagrama de radiación dipolar.
Esto nos remite a la paradoja planteada en la pregunta original. La respuesta es que el átomo comienza con $\hbar$ del momento angular en el $z$ dirección. Cuando decae sabemos que pierde todo su momento angular. La luz cede su momento angular a un estado que tiene el patrón de modos descrito anteriormente. Este estado de la luz tiene momento angular orbital y de espín, pero tiene un momento angular total bien definido de $\hbar$ . La intuición que nos ha fallado y nos ha hecho pensar que existe una paradoja ha sido la intuición de que "la luz polarizada horizontalmente en el $xy$ plano no puede llevar el momento angular en el $z$ dirección según sea necesario.
El problema de esta intuición es que hay que considerar el estado global del campo luminoso en todo el espacio para determinar su momento angular.
Donde me tropecé fue al considerar un detector colocado a lo largo de la $x$ eje. Si se detecta un fotón sabemos que está polarizado linealmente en el por lo que no puede llevar momento angular de espín óptico en el $z$ dirección. ¿Dónde queda entonces el momento angular tras la detección y posterior colapso del estado cuántico? La respuesta es la siguiente. Dado que el detector tiene una extensión espacial finita, hay una serie de ondas planas consistentes en provocar el chasquido del detector. Cada una de estas ondas planas está correlacionada con el retroceso del átomo en la dirección opuesta. Sin embargo, debido al momento angular orbital de la luz, cada una de estas ondas planas tiene una fase ligeramente diferente. Esta fase se imprime en la onda plana atómica que retrocede. La suma de las ondas planas atómicas en retroceso tendrá entonces algo de circulación, es decir, momento angular orbital externo del centro de masa del átomo. Así, después de la detección por tal detector, se encontrará que el átomo tiene momento angular orbital externo.
La historia que acabo de contar es complicada de contar porque el detector que elijo no es muy acorde con las demás bases útiles para el problema, así que hay que saltar mentalmente muchos cambios de bases.
Obsérvese que antes de la detección, todo el momento angular está en la luz. Sin embargo, después de la detección, el momento angular se encuentra en el átomo. ¿Qué ocurre? La respuesta es que la luz y el átomo están entrelazados. Y están entrelazados de tal manera que el momento angular orbital total de la luz es $\hbar$ y el momento angular orbital total del átomo es 0. Sin embargo, detectando como he descrito anteriormente, se puede proyectar el sistema conjunto a un estado en el que el átomo tiene todo el momento angular orbital.
