Por qué $\int _c^df^{-1}\left(y\right)\:dy+\int _a^b\:f\left(x\right)dx=b\cdot d-a\cdot c$ ?

Question

Por qué $\int _c^df^{-1}\left(y\right)\:dy+\int _a^b\:f\left(x\right)dx=b\cdot d-a\cdot c$ donde f es una función biyectiva y $f(a)=b,f(c)=d,$ No entiendo el gráfico... No puedo ver en el gráfico de esta igualdad, así que ¿alguien paciencia para explicarme en el gráfico de esta igualdad?

Creo que no es duplicado, porque quiere una prueba rigurosa, no un empate, y quiero entender de gráfico, creo que no es duplicado ... No sé por qué piensan que es duplicado

Answer 1

Sin hacer referencia a un "gráfico", obsérvese que si tenemos $f(a)=c$ y $f(b)=d$ entonces

$$\begin{align} \int_a^b f(x) \,\,dx+\int_c^d f^{-1}(y) \,\,dy &=\int_a^b f(x) \,\,dx+\int_a^b f^{-1}(f(x)) f'(x) \,\,dx\\\\ &=\int_a^b f(x) \,\,dx+\int_a^b x f'(x) \,\,dx\\\\ &=\int_a^b f(x)+x f'(x) \,\,dx\\\\ &=\int_a^b (xf(x))' \,\,dx\\\\ &=bf(b)-af(a)\\\\ &=bd-ac \end{align}$$

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Answer 2

¡No es verdad!

Toma $f(x)=x$ - es una biyección.

Puis $f^{-1}(x)=x$ y $$ \int_c^d f^{-1}(y)\,dy+\int_a^bf(x)\,dx=\frac{1}{2}(d^2-c^2)+\frac{1}{2}(b^2-a^2) \ne bd-ac. $$ Sin embargo, si $c=f(a)$ y $d=f(b)$ ¡entonces se mantiene! Basta con dibujar la figura de la gráfica de $f$ . Entonces $f^{-1}$ también es visible en el mismo gráfico (reflexión a lo largo de $y=x$ ). Entonces $bd-ac$ es el área bajo $f$ más el área bajo $f^{-1}$ (reflejado) en el intervalo $[a,b]$ en el $x$ dirección.