Supongamos que tenemos una esfera definida como $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ . Con un radio de 3, sabemos que la curvatura gaussiana debe ser $\frac{1}{9}$ en cada punto de la superficie.
Como esto define un conjunto de niveles, el gradiente da las normales. Por lo tanto, las normales deben ser
$$\begin{bmatrix} 2x \\\\ 2y \\\\ 2z \end{bmatrix}$$
Podemos entonces normalizar estas normales, dando
$$\begin{bmatrix} \frac{2x}{\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}} \\\\ \frac{2y}{\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}} \\\\ \frac{2z}{\sqrt{4x^2+4y^2+4z^2}} \\\\ \end{bmatrix}$$
A mi entender, esto nos da las normales de la superficie en la esfera unidad (el Mapa de Gauss).
Según el artículo de Wolfram MathWorld sobre el Mapa de Gauss, si tomamos las derivadas parciales de la función del Mapa de Gauss, y luego tomamos el determinante de esa matriz, deberíamos obtener la curvatura. La matriz en cuestión es
$$\begin{bmatrix} \frac{y^2+z^2}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} & \frac{-xy}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} & \frac{-xz}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} \\\\ \frac{-xy}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} & \frac{x^2+z^2}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} & \frac{-yz}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} \\\\ \frac{-xz}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} & \frac{-yz}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} & \frac{x^2+y^2}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}} \end{bmatrix}$$
Sin embargo, si elegimos un punto de la esfera, (0,3,0), el determinante resultante es cero cuando introducimos ese punto. ¿En qué me equivoco? El resultado debería ser $\frac{1}{9}$ .
