Hallar las coordenadas de una circunferencia que forma parte de una tangente

Question

La pregunta tiene muchas partes. La primera te pide que encuentres una ecuación para el círculo $C_2$ dado que tiene un centro $(10,0)$ y un radio de $3$ . Esta respuesta es $(x-10)^2+y^2=9$ .

A continuación se nos dice que $ABP$ es tangente a ambas circunferencias y corta a la $x$ eje en $P$ y nos pide que encontremos las coordenadas de $P$ cuya respuesta es $(15,0)$ .

Aquí es donde estoy un poco confundido. La pregunta dice "una línea a través de $P$ tiene gradiente $m$ . Escriba, en términos de $m$ la ecuación de esta recta". Creo que esta respuesta es $y=mx-15m$ .

A continuación, se nos dice que esta línea corta círculo $C_1$ en dos lugares y el $x$ -las coordenadas de estos dos puntos satisfacen la ecuación:

$$x^2(1+m^2)-30m^2x+(225m^2-81)=0$$

Por lo tanto, determine las coordenadas del punto $A$ . No estoy seguro de cómo encontrar estas coordenadas.

Answer 1

Sea $u$ sea la primera coordenada de $P$ . Entonces el Teorema del Intercepto da $(u-10)/u=3/9$ de donde $u=15$ .

Pitágoras muestra la $AP$ tiene longitud $12$ . Ahora usa el hecho de que para triángulos rectángulos su área doblada es el producto de sus catetos así como el producto de la hipotenusa y la altura $h$ que aquí es la segunda coordenada de $A$ . Por lo tanto, de $15h=9\cdot12$ llegamos a $h=7.2$ . Ahora introduce esto en la ecuación de $C_1$ para obtener $5.4$ para la primera coordenada.

Aún más fácil. Si $A(x_0,y_0)$ es un punto en $x^2+y^2=r^2$ la ecuación de la tangente en $A$ viene dada por $xx_0+yy_0=r^2.$

Prueba: Excluyendo el caso trivial $y_0=0$ la pendiente de la tangente es $-x_0/y_0$ se deduce que su ecuación es $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{-x_0}{y_0}\iff yy_0-y_0^2=x_0^2-xx_0\iff xx_0+yy_0=x_0^2+y_0^2.$$ Ahora observe que $x_0^2+y_0^2=r^2.$ Obviamente la ecuación se cumple en el caso $y_0=0$ También. $\quad\square$

Sabemos que $P(15,0)$ es un punto de la tangente en $A(x_0,y_0)$ a partir de ahí $$15\cdot x_0+0\cdot y_0=81$$ se deduce que $x_0=81/15$ .

Answer 2

Sea la ecuación de la recta $y = mx + c$ .

Conocemos la distancia de esta recta desde dos puntos respecto a los centros de las dos circunferencias.

1. Distancia desde $(0,0)$ es $9$ :

$$\frac{c^2}{1+m^2} = 81$$

2. Distancia desde $(10,0)$ es $3$ :

$$\frac{(10m + c)^2}{1+m^2} = 9$$

Resolver para $m$ y $c$ .

Edita:

Aquí he utilizado el hecho de que la distancia entre un punto $(x_1,y_1)$ de una línea $ax+by+c = 0$ viene dado por:

$$d = \left|\frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$$

Answer 3

Sospecho que lo siguiente es lo que el autor del problema pretendía que hicieras: Cuando la línea a través de $P$ es tangente al círculo, sólo hay una intersección, en cuyo caso el polinomio $x^2(1+m^2)-30m^2x+(225m^2-81)$ sólo tiene una raíz. Establecer el discriminante $-36(16m^2-9)$ a cero y resolver para $m$ . Habrá dos soluciones; elige el valor negativo, ya que la recta tiene pendiente descendente. Sustituye este valor en la ecuación de $x$ y resolver esa ecuación, luego calcular el valor correspondiente de $y$ de la ecuación del círculo.

Sin embargo, como Respuesta de Michael Hoppe señala, puesto que es probable que ya hayas calculado la ecuación de la recta tangente cuando calculaste $P$ es mucho más fácil calcular su polo. Incluso si no lo hubiera hecho, después de encontrar $m$ para la recta tangente, es mucho menos trabajo calcular su polo que resolver todas esas ecuaciones cuadráticas adicionales de arriba.