Hallar el radio de convergencia de $\sum_{n=1}^\infty {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}z^n$

Question

Necesito encontrar el radio de convergencia de $$ \sum_{n=1}^\infty {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}z^n $$ Procedí así: $$ \sum_{n=1}^\infty {\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}}z^{n+1} \times {\frac{(n!)^2}{(2n)!}} $$ Pero no veo cómo seguir adelante.

Answer 1

$$\sum_{n=0}^\infty {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}z^n=\frac{1}{\sqrt{1-4z}}.$$ El punto más cercano al origen tal que no es analítico es $z=\frac14$ . Por lo tanto, el radio de convergencia es $\frac14$ .

Answer 2

Casi has empezado con la idea, pero no la has terminado. $$a_n={\frac{(2n)!}{(n!)^2}}\implies \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n+1}{4 n+2}\implies R=\frac 14$$

Eche un vistazo aquí en particular el apartado titulado Radio teórico .