primera derivada parcial de $F(x,y)=\int_a^x f(t,y)dt $

Question

Según el teorema fundamental del cálculo, la primera derivada parcial es f(x,y).

Me pregunto por qué no puedo aplicar la regla de L'Hopital en el siguiente razonamiento:

$$\lim_{h\to0}\frac{\int_a^{x+h}f(t,y)dt - \int_a^x f(t,y)dt}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{1}=0$$

Mientras que el argumento correcto debería ser:

$$\begin{align*}\lim_{h\to0}\frac{\int_a^{x+h}f(t,y)dt - \int_a^x f(t,y)dt}{h}&=\lim_{h\to 0}\frac{\int_a^{x+h}f(t,y)dt+\int_x^a f(t,y)dt}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\int_x^{x+h}f(t,y)dt}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{f(c,y)h}{h}=\lim_{h\to 0}f(c,y)=f(x,y)\end{align*}$$ donde $c\in [x,x+h].$

Answer 1

Deberías tener

$$\lim_{h\to0}\frac{\int_a^{x+h}f(t,y)dt - \int_a^x f(t,y)dt}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)}{1}=f(x,y) \; .$$

Dado que el segundo término es independiente de $h$ .