De un número finito de Monoid $M$ es un grupo si y sólo si tiene sólo un elemento idempotente

Question

Supongamos que $(M,*)$ es un finito Monoid.

Demostrar que $M$ es un grupo si y sólo si hay un solo elemento idempotente en $M$, es decir,$e$.

Una dirección es obvio, porque si $M$ es un grupo, a continuación, $x^2=x$ implica $x=e$, pero la otra dirección, ha sido un reto para mí más de una hora, así que me decidí a preguntar aquí.

Answer 1

Si $M$ no es un grupo, entonces hay un elemento $a \in M$ sin inverso. Desde $M$ es finito, existe $n>m>0$$a^n=a^m$. Ahora se puede encontrar un el poder de $a$ que es idempotente, y no puede ser de la identidad, porque la $a$ no tiene inversa.

$a^m=a^n$ $n>m$ implica $a^n = a^{m+(n-m)}= a^{n+(n-m)}$, por lo que podemos aumentar el $n$, manteniendo $m$ constante. Por lo tanto podemos asumir que $n-2m\ge 0$. Ahora multiplique ambos lados de $a^m=a^n$ $a^{n-2m}$ conseguir $a^{n-m}=a^{2(n-m)}$, lo $a^{n-m}$ es idempotente.

Por ejemplo, si $a^7=a^9$, $a^7=a^{15}$ y multiplicando por $a$ da $a^8=a^{16}$, lo $a^8$ es idempotente.