Si $(X_i)$ son independientes y $\tau_i=\inf\{k >\tau_{i-1}\mid X_k=1\}$ por qué $(\tau_i-\tau_{i-1})$ son independientes

Question

Sea $(X_i)$ t.s. independiente $\mathbb P=\{X_i=0\}=p$ et $\mathbb P\{X_i=1\}=1-p$ . Sea $\tau_0=0$ y establece $$\tau_i=\inf\{k>\tau_{i-1}\mid X_k=1\}.$$ Establecer $$T_i=\tau_{i}-\tau_{i-1}.$$

Quiero demostrar que $(T_i)_i$ son independientes.

proposición Sé que si $U_1,...,U_n$ et $V_1,...,V_m$ son independientes, entonces también lo son $f(U_1,...,U_n)$ et $g(V_1,...,V_m)$ o, de forma equivalente, que $\sigma (U_1,...,U_n)$ et $\sigma (V_1,...,V_m)$ son independientes.

El hecho de que el $(T_i)$ son independientes parece bastante natural, pero me gustaría evitar demostrar que $$\mathbb P\{T_1=k_1,T_2=k_2,...,T_{m}=k_m\}=\mathbb P\{T_1=k_1\}...\mathbb P\{T_m=k_m\}.$$

Q1) ¿Hay alguna manera de utilizar mi propuesta? Algo como $T_1$ es $\sigma (X_1,...,X_{\tau_1})$ mensurable, $T_2$ es $\sigma (X_{\tau_1+1},...,X_{\tau_2})$ medibles... ¿y concluir?

Q2) En $\sigma (X_1,...,X_{\tau_k})$ ¿Realmente tiene sentido? No tengo la impresión.

Q3) ¿Existe alguna forma de demostrar que el $T_i$ están idénticamente distribuidos? Parece muy natural, pero un poco largo de demostrar. ¿Quizás haya algún truco?

Q4) Sé que no basta con demostrar que una colección $\{A_i\}_i$ es independiente por pares para demostrar que la colección es independiente, pero en este caso, ¿no bastaría con demostrar que $T_i,T_j$ son independientes para demostrar que cualquier vector finito de $T_i$ son independientes?

Answer 1

En primer lugar, hay que definir un $\sigma$ -campo asociado a $\tau_i$ . Sea $\mathcal{F}_n:=\sigma(X_1,\ldots,X_n)$ . Entonces definimos $$ \mathcal{F}_{\tau_i}:=\{A\in \mathcal{F}_{\infty}:A\cap \{\tau_i=n\}\in \mathcal{F}_n \text{ for all }n\}. $$ Tenga en cuenta que $\mathcal{F}_{\tau_i}$ es un $\sigma$ -campo y desde $\tau_{i-1}\le \tau_i$ se tiene $\mathcal{F}_{\tau_{i-1}}\subset \mathcal{F}_{\tau_i}$ .

Sea $f_i(x):=1\{T_i=x\}$ con $\tau_0\equiv 0$ . Entonces \begin{align} \mathsf{E}\left[\prod_{i=1}^n f_i(x_i)\right]&=\mathsf{E}\left[\prod_{i=1}^{n-1} f_i(x_i)\mathsf{E}[f_n(x_n)\mid \mathcal{F}_{\tau_{n-1}}]\right]=\mathsf{E}\left[\prod_{i=1}^{n-1} f_i(x_i)\right]\mathsf{E}f_1(x_n) \\ &=\prod_{i=1}^n \mathsf{E}f_1(x_i)=\prod_{i=1}^n p^{x_i-1}(1-p). \end{align}

Queda por justificar la segunda igualdad. Sea $A\in \mathcal{F}_{\tau_{i-1}}$ . Entonces \begin{align} \mathsf{E}[f_i(x);A\cap \{\tau_{i-1}<\infty\}]&=\sum_{m\ge 1}\mathsf{E}[f_i(x);A\cap \{\tau_{i-1}=m\}] \\ &=\sum_{m\ge 1}\mathsf{E}[\mathsf{E}[1\{X_{m+1}=0,X_{m+2}=0,\ldots,X_{m+x}=1\}\mid \mathcal{F}_m]; \\ &\qquad\qquad A\cap \{\tau_{i-1}=m\}] \\[10pt] &=\sum_{m\ge 1}\mathsf{E}[\mathsf{E}[f_1(x)];A\cap \{\tau_{i-1}=m\}] \\ &=\mathsf{E}[\mathsf{E}[f_1(x)];A\cap \{\tau_{i-1}<\infty\}]. \end{align}

La última ecuación muestra que $\mathsf{E}[f_i(x)\mid \mathcal{F}_{\tau_{i-1}}]=\mathsf{E}f_1(x)$ a.s. el $\{\tau_{i-1}<\infty\}$ . Sin embargo, es fácil ver que $\mathsf{P}(\tau_i<\infty)=1$ para cualquier $i\ge 1$ . Por lo tanto, $\mathsf{E}f_i(x)=\mathsf{E}f_1(x)=p^{x-1}(1-p)$ .