Ayuda para la configuración integral: $\iint_{\mathbb R^2} \frac{1}{(1+4x^2+9y^2)^2} dx dy$

Question

Evalúe $\iint_{\mathbb R^2} \frac{1}{(1+4x^2+9y^2)^2} dx dy$

Si utilizo coordenadas polares obtengo $$\int_0^{2\pi}\int_0^\infty \frac{r}{(1+4r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta)^2} drd\theta.$$

Sin embargo, no sé muy bien qué hacer a partir de ahora.

Answer 1

Sustituimos primero $2x=s$ , $3y=t$ Así que $6dx\wedge dy = ds\wedge dt$ . Después, la integral se calcula fácilmente. $$\begin{aligned} \iint_{\mathbb R^2} \frac{1}{(1+4x^2+9y^2)^2} \; dx\; dy &= \frac 16\iint_{\mathbb R^2} \frac{1}{(1+s^2+t^2)^2} \;ds\; dt \\ &= \frac 16\int_0^\infty\int_0^{2\pi} \frac{1}{(1+r^2)^2} \; r\;dr\; d\theta \\ &= \frac 16\cdot2\pi\cdot \frac 12 \int_0^\infty \frac{1}{(1+r^2)^2} \;d(r^2) \\ &= \frac 16\cdot2\pi\cdot \frac 12 \left[\ -\frac{1}{1+r^2}\ \right]_0^\infty \\ &=\frac \pi6\ . \end{aligned}$$