Otra forma de resolver $\int \frac{\sin^4(x)}{1+\cos^2(x)}\ dx$ sin la sustitución $y=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ ?

Question

¿Hay otra forma de resolver una integral $$\int \frac{\sin^4(x)}{1+\cos^2(x)}\ dx$$ sin la sustitución $y=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ ?

$\large \int \frac{\sin^3(x)}{1+\cos^2(x)}\ dx$ se resuelve fácilmente mediante la sustitución $y=\cos(x)$ . ¿Y si la potencia del seno es par?

Answer 1

Sugerencia :

Reglas de Bioche sugieren utilizar la sustitución $$t=\tan x,\quad \mathrm d x=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}.$$ De hecho, como $\cos^2x=\frac 1{1+t^2}$ , $\:\sin ^2x=\frac{t^2}{1+t^2}$ se obtiene $$\int\frac{\sin^4(x)}{1+\cos^2(x)}\,\mathrm dx=\int\frac{\frac{t^4}{(1+t^2)^2}}{1+\frac1{1+t^2}}\,\frac{\mathrm dt}{1+t^2}= \int\frac{t^4\,\mathrm dt}{(1+t^2)^2(2+t^2)}$$ que se computa con una descomposición en fracciones parciales: $$\frac{t^4}{(1+t^2)^2(2+t^2)}=\frac{At+B}{1+t^2}+\frac{Ct+D}{(1+t^2)^2}+\frac{Et+F}{2+t^2}.$$

Answer 2

Denote

$${I_n = \int\frac{\sin^{2n}(x)}{1 + \cos^2(x)}dx}$$

Entonces

$${I_{n}=\int\sin^2(x)\frac{\sin^{2n-2}(x)}{1+\cos^2(x)}dx=\int(1-\cos^2(x))\frac{\sin^{2n-2}(x)}{1+\cos^2(x)}dx}$$

Si amplía esto, obtendrá

$${=I_{n-1} - \int \cos^2(x)\frac{\sin^{2n-2}(x)}{1+\cos^2(x)}dx=I_{n-1}-\int \sin^{2n-2}(x) - \frac{\sin^{2n-2}(x)}{1+\cos^2(x)}dx}$$

Por lo tanto

$${I_{n}=2I_{n-1} - \int \sin^{2n-2}(x)dx}$$

Ahora defina ${S_n = \int\sin^{2n}(x)dx}$ . Entonces

$${S_{n}=\int \sin^2(x)\sin^{2n-2}(x)dx=S_{n-1}-\int \cos^2(x)\sin^{2n-2}(x)dx}$$

En la integral de la derecha, utilizando la integración por partes se obtiene

$${\int\cos^2(x) \sin^{2n-2}(x)dx=\frac{\cos(x)\sin^{2n-1}(x)}{2n-1}+\frac{1}{2n-1}\int \sin^{2n}(x)dx}$$

Así que en general

$${\Rightarrow S_n = S_{n-1}-\frac{\cos(x)\sin^{2n-1}(x)}{2n-1} - \frac{1}{2n-1}S_n}$$

Y así

$${\left(\frac{2n}{2n-1}\right)S_n = S_{n-1} - \frac{\cos(x)\sin^{2n-1}(x)}{2n-1}}$$

$${\Rightarrow S_n = \frac{(2n-1)S_{n-1}}{2n} - \frac{\cos(x)\sin^{2n-1}(x)}{2n}}$$

Ahora tienes dos relaciones recursivas que te ayudarán a calcular la integral para mayores incluso poderes de ${\sin(x)}$ :

$${I_n = 2I_{n-1} - S_{n-1}}$$

$${S_{n} = \frac{(2n-1)S_{n-1}}{2n} - \frac{\cos(x)\sin^{2n-1}(x)}{2n}}$$

Answer 3

SUGERENCIA: $$\int \frac{\sin^4(x)}{1+\cos^2(x)}\ dx=\int \frac{(1-\cos^2(x))^2}{1+\cos^2(x)}\ dx$$ $$=\int \frac{(1+\cos^2(x))^2-4(1+\cos^2(x))+4}{1+\cos^2(x)}\ dx$$ $$=\int \left(1+\cos^2(x)-4+\frac{4}{1+\cos^2(x)}\right)\ dx$$ $$=\int \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}-3+\frac{4\sec^2x}{\tan^2(x)+2}\right)\ dx$$

Answer 4

CONSEJO

Puede utilizar $\sin(x) = \tan(x) / \sec(x)$ y $\cos(x) = 1/\sec(x)$ .

y luego te llevará a la descomposición de fracciones parciales.

Answer 5

$$\sin^4x=(\sin^2x+1)(\sin x+\sqrt{2})(\sin x-\sqrt{2})+(2+\sin^2x)$$ $$1+\cos^2x=(\sqrt{2}+\sin x)(\sqrt{2}-\sin x)$$ y así se convierte tu integral: $$\int\frac{\sin^4x}{1+\cos^2x}dx=\int\frac{(\sin^2x+1)(\sin x+\sqrt{2})(\sin x-\sqrt{2})+(2+\sin^2x)}{(\sqrt{2}+\sin x)(\sqrt{2}-\sin x)}dx=-\int1+\sin^2xdx+\int\frac{2+\sin^2x}{2-\sin^2x}dx$$