Divergencia de series inusuales

Question

Ya he probado esta serie.

Si $u_n > 0$ y $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1 - \frac{1}{n} - \frac{\alpha}{n\log n}$ donde $\alpha >1$ entonces $\sum u_n$ converge.

Sin embargo, no pude probar la siguiente serie.

Si $u_n > 0$ y $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n\log n}$ entonces $\sum u_n$ diverge.

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Mi idea era la siguiente. $ 1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n\log n} \gt \frac12 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n\log n} $

serie del lado derecho no va a cero, por lo que su suma de la serie sí diverge.

Por lo tanto, pensé erróneamente que esto está probado.

Sin embargo, me di cuenta de que esta propiedad no está relacionada con la suma de $u_n$ .

¿Alguien tiene una gran idea para resolver este problema?

Answer 1

Pista: para el segundo, y suponiendo que se le permita utilizar este teorema, aplicando Prueba de Kummer con $a_n\stackrel{\rm def}{=} (n\ln n )\ln\ln n$ le permitirá* concluir que una serie $\sum_n u_n$ con términos positivos y tal que $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n\ln n}$$ diverge. Una vez hecho esto, los casos en los que $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n\ln n}$ seguir fácilmente.

* Si no metí la pata en mis cálculos.

Answer 2

Si la primera afirmación es cierta, en caso de igualdad de la segunda a $\alpha=1$ el segundo diverge....

Además, en el otro caso restante, por la prueba de la proporción, ¡sí diverge!

Me acabo de dar cuenta por los comentarios de dos reyes magos.

Estuve haciendo esto durante 2 horas aunque ya lo había probado........

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Este método tiene un problema.

Tenemos que usar otra vía.