Intenté probar la afirmación y no estaba seguro de que fuera correcta.
Teorema
Un idioma $\mathcal{L}$ con $n$ las proposiciones atómicas pueden expresar $2^{2^n}$ proposiciones no equivalentes.
Prueba
Dos propuestas $\alpha$ y $\beta$ en $\mathcal{L}$ son lógicamente equivalentes si y sólo si $\alpha[\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n]=\beta[\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n]$ para todos $\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n\in\{0,1\}$ si $\alpha$ y $\beta$ definir lo idéntico $n$ -ary función de verdad.
Puesto que existe para cada función de verdad $h$ una propuesta $\varphi\in\mathcal{L}$ que define $h$ se deduce que el número de proposiciones no equivalentes por pares en $\mathcal{L}$ es igual al número de funciones de verdad $h:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ .
Consideremos ahora las funciones de verdad $h:\{0,1\}^{n}\rightarrow\{0,1\}$ . Dado que existen $2^{n}$ elementos en $\{0,1\}^{n}$ y cada argumento se asigna a uno de los dos elementos de $\{0,1\}$ hay $\underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{2^{n} \text{ times}}=2^{2^{n}}$ diferentes funciones de verdad $h$ según sea necesario.
