Distribuciones convolución con heaviside

Question

¿Cómo solucionarlo?

$$ g(t) = t \Theta (t) $$

$$ g * g(t)$$

Tenía la esperanza de poder utilizar el $\delta $ de alguna manera para obtener cálculos más fáciles, pero no veo cómo. ¿Hay alguna manera de dividir esto en funciones más fáciles?

Yo pensaría que $(t*t)\Theta(t)$ sería más fácil de resolver, pero no encuentro ninguna regla que me permita hacer esa reescritura.

Answer 1

Supongamos que tenemos dos funciones (suficientemente regulares) $a,b \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y fijar $u(t) = a(t)\Theta(t)$ , $v(t) = b(t) \Theta(t)$ . Entonces para la convolución $u\ast v$ obtienes

\begin{align} (u\ast v)(t) &= \int_{\mathbb{R}} u(x)v(t-x)\,dx\\ &= \int_{\mathbb{R}} a(x)\Theta(x)v(t-x)\,dx\\ &= \int_{[0,\infty)} a(x)v(t-x)\,dx\\ &= \int_{[0,\infty)} a(x) b(t-x)\Theta(t-x)\,dx\\ &= \int_{[0,t]} a(x) b(t-x)\,dx, \end{align}

desde $\Theta(y) = 0$ para $y < 0$ .

Usando eso con $a = b = \operatorname{id}$ es fácil calcular $(g\ast g)(t)$ .