¿Existe una notación para "para todos los únicos..."? Por ejemplo, supongamos que queremos considerar todos los distintos $x,y$ en algún conjunto $S$ . ¿Teclearíamos $\forall !x,y\in S$ ?
¿Podemos utilizar "distinto" y "único" indistintamente en este sentido?
Nunca he visto notación para esto y una búsqueda en google/SE no encontró nada.
Yo desconfiaría de utilizar $\forall !$ como su notación para esto. (Véase aquí por ejemplo). Sin embargo, la palabra "único" no significa lo que usted quiere decir. Único" significa "uno", y "distinto" significa... ¡exactamente lo contrario!
Sería mejor que escribieras "para todos los distintos $x,y \in S$ ".
Trabajando formalmente, si estuvieras tratando de demostrar que una propiedad $\phi(x,y)$ es válida para $x,y \in S$ podrías escribir $$(\forall x,y \in S)(x \ne y \to \phi(x,y))$$ ...pero fuera de la lógica no hay mucha necesidad de este tipo de notación.
La palabra "único" significa que tiene una propiedad que lo distingue de todas las demás cosas. En matemáticas, esto no tiene sentido si no va seguido de "tal que" y de la propiedad precisa que lo distingue de todo lo demás. Cada $x$ es el único $y$ tal que $y=x$ por lo que ser único sin cualificación carece de sentido.
El único uso útil de "único" en matemáticas es, por tanto, en el contexto "el es un único $x$ (en un conjunto determinado $X$ ) tal que la propiedad $P(x)$ se mantiene", que traducido a una fórmula lógica da $\exists x\in X:\bigl(P(x)\land \forall y\in X:P(y)\to x=y\bigr)$ .
La palabra "distintas" se aplica a una familia de variables (a menudo sólo dos o tres): las variables $x_i$ para $i$ en algún conjunto de índices $I$ son todas distintas siempre que $x_i=x_j$ implica $i=j$ (el mapa $I\to X:i\mapsto x_i$ es inyectiva). No está ligada a la cuantificación universal (decir "para todos los distintos $x$ " carece de sentido), aunque las variables $x_i$ podría haber sido introducido por cuantificación (ya sea universal o existencial, ambas son bastante razonables).
Así que no hay nada que vincule "único" con "distinto", salvo que ambos son no-propiedades: carecen de significado cuando se aplican (sin cualificación) a una única variable. Creo que lo que puede confundirte es el horrible abuso de "único" que a veces se utiliza en combinatoria (o probabilidad): determinar el número de configuraciones únicas de algún tipo. Nunca sé qué se supone que significa "único" en este contexto. Podría significar "distinto" en el sentido de que cada configuración se cuenta una sola vez, pero eso es bastante tonto, ya que esto está implícito en contar las cosas correctamente. A veces "número de distintos" tal o cual puede utilizarse para indicar no adjuntando una multiplicidad que el lector podría inclinarse a hacer de otro modo: el número de raíces distintas de un polinomio, o los valores propios de una matriz. Sin embargo, en este contexto nunca se diría "número de únicos". Es más probable que "número de configuraciones únicas" signifique contar sólo clases para alguna relación de equivalencia (no indicada explícitamente) de configuraciones, como órbitas para un grupo de simetría que actúa sobre el conjunto de configuraciones (asientos alrededor de una mesa redonda...).
En cualquier caso, "para todos los $x,y,z$ "no tiene sentido. Se podría decir "para todos los distintos $x,y,z$ ", que es una manera un poco informal de decir para todos $x,y,z$ tal que $x\neq y\neq z\neq x$ (¡no olvides la última desigualdad!).
He aquí una definición de "único" que he obtenido buscando en Google:
siendo único en su género; distinto a cualquier otro
Sea $X$ sea un conjunto. Sea $x$ sea un elemento de $X$ . Es $x$ ¿único? Por supuesto, de una forma totalmente inútil: $x$ es único porque cualquier cosa que no sea $x$ no es $x$ . Veo que la única interpretación de
Para todos los $x,y\in X$ , ...
como
Para todos $x,y\in X$ tal que $x$ y $y$ son únicos, ...
o lo que es lo mismo
Para todos $x,y\in X$ , ...
Ahora bien, si quiere utilizar la palabra "único" para significar algo distinto de lo que todo el mundo utiliza, por ejemplo, "distinto", puede hacerlo, pero es de esperar que haya confusión.
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