Topología de convergencia débil, funcionales lineales e intuición probabilística

Question

Una pregunta muy básica sobre la topología de la convergencia débil.

Sabemos que dado lo siguiente:

• $X$ espacio topológico metrizable,

• $\mathcal{B} (X)$ Borel $\sigma$ -álgebra,

• $\Delta (X)$ conjunto de todas las medidas de probabilidad sobre $\mathcal{B} (X)$ ,

• $C_b (X)$ conjunto de todas las funciones continuas acotadas en $X$ ,

el $w^*$ topología en $\Delta (X)$ llamada topología de convergencia débil es tal que, para todo $f \in C_b (X)$ , $\mu \mapsto \int f \,d \mu$ es $w^*$ -continuo.

La cuestión es qué $f \in C_b (X)$ en términos de intuición probabilística?
¿Debo verlas como variables aleatorias o qué?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Bueno, si tomamos $C_b(X)$ como subconjunto de las variables aleatorias, entonces el mapa $\mu \mapsto \int f d\mu$ es, por supuesto, tomar el valor esperado. Si intentáramos evaluarlo en todas las variables aleatorias, habría, por supuesto, variables aleatorias para las que no estaría definido. De hecho, para cualquier medida habría variables aleatorias en las que la evaluación fuera indefinida.

Por lo tanto, considerarlas como todas las variables aleatorias es claramente erróneo. Pero son un álgebra de variables aleatorias (cerrada bajo multiplicación) donde los valores esperados existen necesariamente. No es la mayor de esas álgebras, pero es una colección lo bastante grande como para que la convergencia tenga sentido.