Este es un divertido problema! ¿Dónde se encuentra?
No hay soluciones a excepción de $k=1$. Asumir desde ahora que $k \neq 1$. Desde $k$ es claramente raro, es también no $0$ y podemos deducir que $k(k-1)>0$. Es conveniente establecer $M = k(k-1)$. También, podemos suponer que WLOG que $x$$y\geq0$.
Como lo hizo, volver a escribir la ecuación para
$$ky^2 - 4 (k-1) x^2 = 1$$
o
$$(ky)^2 - k(k-1) (2x)^2 = k.$$
Set$Y=ky$$X=2x$, por lo que la ecuación es
$$Y^2 - M X^2 = k. \quad (\ast)$$
Vamos a estudiar la ecuación de $(\ast)$. En la final, vamos a ver que no hay soluciones con $X$ a y $Y$ divisible por $k$.
El resto de esta prueba de obras en el interior del anillo de $R:=\mathbb{Z}[\sqrt{M}]$. Tenga en cuenta que $M=k(k-1)$ no es cuadrada, por lo que esta forma de dominio. Para un elemento $\alpha = a+b \sqrt{M} \in R$,$\bar{\alpha} = a - b \sqrt{M}$.
Set $\epsilon = (2k-1) + 2 \sqrt{M}$. Tenga en cuenta que $\epsilon \bar{\epsilon} = (2k-1)^2 - 4 k(k-1) = 1$, lo $\epsilon$ es una unidad de $R$.
Set $\delta = Y+X \sqrt{M}$. Desde $\delta$ es un real positivo, y $\epsilon>1$, hay algunos entero $n$ tal que $\epsilon^n \leq \delta < \epsilon^{n+1}$. Escribir $\delta = \gamma \epsilon^n$. Desde $\epsilon$ es una unidad, $\gamma$ está en el ring $R$ y, por construcción,
$$1 \leq \gamma < \epsilon.$$
Tenemos
$$\epsilon = 2k-1 + 2 \sqrt{k(k-1)} < 2k+ 2k = 4k.$$
Así
$$1 \leq \gamma < 4k.$$
Pero, también se $\gamma \bar{\gamma} = \delta \bar{\delta} =k$. Así
$$\frac{1}{4} \leq \bar{\gamma} \leq k.$$
Escribir $\gamma = U + V \sqrt{M}$. Así
$$\begin{matrix}
1 & \leq & U+V\sqrt{M} & < & 4k \\
\frac{1}{4} & \leq & U-V\sqrt{M} & < & k \\
\end{de la matriz}.$$
La solución para $V$, tenemos
$$\frac{-k}{2 \sqrt{M}} < V < \frac{2k}{\sqrt{M}}.$$
El LHS es $\approx -1/2$, y el lado derecho es ligeramente más grande que $2$. Por lo $V$ es $0$, $1$ o $2$. Partimos en casos de:
$\bullet$ Si $V=0$, entonces la ecuación de $\gamma \bar{\gamma} =k$ da $U^2 =k$. Por lo $k$ es un cuadrado, decir $k=m^2$$M=m^2(m^2-1)$. Tenemos
$$Y+X \sqrt{M} = m ((2k-1)+2 \sqrt{M})^n = m (2m^2-1 + 2 m \sqrt{m^2-1})^n.$$
Un fácil de inducción en $n$ muestra que $Y \equiv (-1)^n m \mod m^2$, excepto cuando se $m=1$, no tenemos la $Y$ divisible por $k=m^2$. Por supuesto, el caso de $m=1$ corresponde a $k=1$.
$\bullet$ Si $V=1$$U^2 - k(k-1) = k$$U=k$. Tenemos
$$Y+ X \sqrt{M} = (k+\sqrt{M}) \cdot ((2k-1)+2 \sqrt{M})^n.$$
Un fácil de inducción en $n$ muestra que $X$ es impar.
$\bullet$ Si $V=2$$U^2 - 4k(k-1) = k$$4k^2-3k = U^2$. Esto le da a $64k^2 - 48 k + 9= 64 U^2+9$ o $(8k-3)^2 - (8U)^2 = 9$. La única manera de escribir $9$ como una diferencia de cuadrados se $3^2-0^2$$5^2-4^2$. El ex da $k=0$, pero vimos que $k$ debe ser impar; el último no da ninguna solución, ya que $8$ no divide $4$.
