Mostrar que un elemento está en el centro de $G$ , $|G| = 8$

Question

Sea $G$ sea un grupo de orden $8$ y $xG$ tal que el orden de $x$ es $4$ . Quiero demostrar que $x^2Z(G)$ .

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

He aquí una prueba más elemental que la que di en mi comentario a la pregunta. (Doy una serie de pistas, ya que sospecho que se trata de una pregunta de deberes).

Defina $X$ es el subgrupo generado por $x$ .
En primer lugar, demuestre que para cualquier $g\in G$ , $g^2\in X$ . Esto demuestra que $X$ es un subgrupo normal de $G$ en particular cualquier conjugado de $x$ es $x$ o $x^{-1}$ . (Hay tres afirmaciones que necesitan prueba).
Ahora, calcula $g^{-1}x^2g$ y reordenar los términos para demostrar que $x^2$ conmuta con cada elemento de $G$ .