¿Existe un conjunto de sentencias en el lenguaje de los campos ordenados cuyos modelos sean precisamente los racionales y cualquier campo ordenado isomorfo a ellos?
Respuestas
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DanV
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No, por razones obvias.
Existe exactamente un campo isomorfo a los números racionales. Los números racionales. Incluso si quieres decir isomorfo de orden, y no isomorfo de campo ordenado, todos ellos son campos contables.
Y, por supuesto, no hay ningún conjunto de axiomas que tenga un modelo infinito de una sola cardinalidad en la lógica de primer orden. Así que esto es imposible.
Pero incluso si se limita a campos contables esto no es posible. Tomemos cualquier modelo incontable de este conjunto de axiomas, entonces tiene al menos un número que es irracional y no algebraico; llamémoslo $t$ . Veamos ahora el submodelo menos elemental que contiene $t$ es un campo contable que tiene un número irracional. Así que no es isomorfo a $\Bbb Q$ .
La respuesta es no. Porque por el) Teorema de Lowenheim-Skolem, si el conjunto $T$ de enunciados tiene un modelo infinito, entonces $T$ tiene modelos de cardinalidad arbitrariamente alta.
Michael Hardy
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128804
La existencia de tal conjunto de sentencias queda excluida por el teorema de compacidad de la lógica de primer orden. Consideremos las sentencias \begin{align} a & > 1 \\ a+a & > 1 \\ a+a+a & > 1 \\ a+a+a+a & > 1 \\ & \,\,\, \vdots \end{align} Todo subconjunto finito de este conjunto es satisfacible dentro de los racionales. Por lo tanto, por el teorema de la compacidad, todos ellos son simultáneamente satisfacibles en una estructura que satisface todas las sentencias de primer orden verdaderas en $\mathbb Q$ . Pero tal estructura claramente no puede ser isomorfa a $\mathbb Q$ .
