He leído la siguiente prueba de por qué el conjunto de los números reales es incontable.
Supongamos que $\mathbb{R}$ es contable. Entonces podemos enumerar $\mathbb{R} = \{x_1, x_2, x_3, \cdots\}$ y asegúrate de que cada número real aparece en algún lugar de la lista. Sea $I_1$ sea un intervalo cerrado que no contenga $x_1$ . A continuación, dado un intervalo cerrado $I_n$ construir $I_{n+1}$ que satisfaga las dos condiciones siguientes:
(i) $I_{n+1} \subseteq I_n$
(ii) $x_{n+1} \not\in I_{n+1}$
Consideremos ahora la intersección $\cap_{n=1}^{\infty} I_n$ . Si $x_{n_0}$ es un número real de la lista enumerada, entonces $x_{n_0} \not \in I_{n_0}$ Así que $x_{n_0} \not \in \cap_{n=1}^{\infty} I_n$ . Pero suponíamos que la lista contenía todos los números reales, así que esto implica $\cap_{n=1}^{\infty} I_n = \emptyset$ . Sin embargo, la propiedad de intervalo anidado afirma que $\cap_{n=1}^{\infty} I_n \neq \emptyset$ de ahí la contradicción.
Pregunta: No veo por qué este mismo argumento no se puede aplicar a $\mathbb{Q}$ y demostrar que el conjunto de los racionales es incontable (lo que, por supuesto, no tiene sentido), o incluso más generalmente, demostrar que cualquier conjunto infinito $S = \{s_1, s_2, s_3, \cdots \}$ es incontable, utilizando la misma construcción de intervalos utilizada anteriormente.
