Necesito ayuda con un par de preguntas de verdadero/falso

Question

1. Hay matrices elementales que no son invertibles.

• Adivina: Cierto, porque tiene que ser diagonalizable, pero no siempre es así.

2. $A$ , $B$ y $C$ son matrices. Si $B$ es similar a $A$ y $B$ es similar a $C$ entonces $A$ también es similar a $C$ .

• Adivina: Cierto, porque $B=A$ , $B=C$ Así que $A=C$ .

Answer 1

1. Incorrecto. Las matrices elementales son siempre invertibles. No tiene nada que ver con diagonalizable. Considera los tres tipos de matrices elementales. Observa que todas ellas tienen una inversa del mismo tipo.

2. Su respuesta es correcta, pero su razonamiento no lo es. "Similar" no significa "igual". $A$ similar a $B$ significa que existe alguna matriz invertible $P$ del mismo tamaño tales que $A = P^{-1}BP$ .

3. Equivocada. ¿Por qué dices que no funciona en todas las matrices? ¿Tiene algún contraejemplo? Siempre se pueden hacer transformaciones de fila y convertir a la forma escalonada de fila.

4. Correcto. Esto se deduce del punto 1.

5. Equivocada. Que dos matrices tengan el mismo tamaño no significa que sean conmutables. Puedes considerar $$A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \text{ and } B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}.$$

6. Correcto. Pero tu razonamiento es erróneo. $AB = A^{-1}B^{-1}$ no es cierto en general. La respuesta correcta requiere algo de álgebra lineal para concluir que $AB = I$ implica que $BA = I$ y por lo tanto, ambos son invertibles.

7. Correcto. El razonamiento vuelve a ser erróneo. Demuestre que si $B$ es la inversa de $A$ entonces $B^t$ es la inversa de $A^t$ .

Answer 2

Aquí tienes algunas pistas:

1. Esto es cierto. Las operaciones de fila preservan el rango de una matriz.

2. Similitud significa que existe una matriz invertible $P$ tal que $B=P^{-1}AP$ . ¿Qué ocurre cuando se asume que $B$ es similar a $A$ y $C$ es similar a $B$ e introducir las definiciones?

3. Esto también es cierto, puede encontrar una prueba en línea.

4. ¿Cuál es el espacio nulo de una matriz invertible (véase 1)?

5. ¿Qué ocurre cuando se suma la primera fila de la matriz identidad a la segunda, y se multiplica esta matriz por otra en la que se suma la segunda fila a la primera?

6. ¿Cuál es el determinante de un producto de dos matrices? Si $AB=I$ entonces, ¿qué es $\det I$ ? ¿Qué le dice esto sobre $\det A$ y $\det B$ ?

7. $A^{-1}=A^T$ sólo es cierto para matrices ortogonales. ¿Tomar la transposición cambia el determinante? Si no, ¿qué te dice sobre la invertibilidad?