¿Cuál puede ser un estimador ineficiente de la media poblacional?

Question

Si la media muestral es un estimador eficiente de la media poblacional, ¿cuál puede ser un ejemplo de estimador ineficiente?

Answer 1

Consideremos una muestra de tamaño $N$ extraída de una distribución normal. La mediana de la muestra $\tilde{X}$ es un estimador insesgado y coherente de $\mu$ . Para grandes $N$ la mediana de la muestra tiene una distribución aproximadamente normal con media $\mu$ y varianza $\pi/2N$ . La eficiencia para grandes $N$ es así $2/\pi \approx 0.64$ . Se trata de la eficiencia asintótica, es decir, la eficiencia en el límite a medida que el tamaño de la muestra $N$ tiende a infinito.

Edita: La media muestral es un estimador mejor (más eficiente) de la media poblacional que la mediana muestral, ya que la mediana muestral se alejará de la media poblacional en mayor medida (de media) que la media muestral.

Es decir, las medianas muestrales (hablando asintóticamente - a medida que el tamaño de la muestra N llega a infinito) tendrán una distribución más amplia en comparación con las medias muestrales. Y puesto que ambos estimadores son insesgados, lo que significa que estimarán la verdadera media de la población - lo que significa que no subestimarán/sobrestimarán la media de la población, todo lo que queda es mirar la varianza de estos estimadores. Y como se ha escrito anteriormente, la distribución de la mediana de la muestra tendrá una varianza mayor en comparación con la media de la muestra, lo que significa que la mediana de la muestra es un estimador menos eficiente de la media de la población.