Caracterización de secuencias cuadrado-sumables

Question

Tengo curiosidad por saber si es cierta o no la siguiente implicación: Si $x_{n} \notin \ell^2{(\mathbb{N})}$ ¿existe necesariamente una secuencia $y_{n} \in \ell^{2}(\mathbb{N})$ tal que $x_{n}y_{n} \notin \ell^{2}(\mathbb{N})$ ?

Answer 1

No es necesariamente cierto.

Considere $x_n = 1/\sqrt n \not\in \ell_2$ . Entonces para cualquier $y_n \in \ell_2$

$$\| x_ny_n \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^\infty |x_ny_n|^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^\infty |y_n|^2} = \| y_n \|_2 $$

Eso es, $x_ny_n \in \ell_2$ para todos $y_n \in \ell_2$ .