Relación entre la geometría del espectro y la casi isometría

Question

Lo siento, he utilizado mal el concepto de cuasi-isometría, me refiero a casi isometría (también llamada aproximación de Hausdorff).

Como sabemos, las variedades isométricas de Riemann tienen el mismo espectro de Laplace-Beltrami. Y definió una clase de manifolds isospectral que es una firma altamente idéntica de manifold. Sin embargo, en la aplicación, la casi-isometría es más útil. ¿Alguien me proporciona una visión general o referencia de la relación entre espectro y casi-isometría?

Por casi isometría se entiende que para dos espacios métricos (colector de Riemann) existen $\varepsilon$ y $f: X\rightarrow Y$ s.t.

1. $|d(x,y)-d(f(x),f(y))|<\varepsilon$ para $x,y\in X$
2. para cualquier punto $y\in Y$ existe un $x\in X$ s.t. $d(f(x),y)<\varepsilon$

la pregunta es: Dadas dos variedades de riemann, ¿cómo comprobar la casi isometría y estimar inf $ \{\varepsilon\}$ a partir de datos espectrales.

Answer 1

La esfera, el toroide y las superficies compactas de género $g>1$ tienen operadores de Laplace-Beltrami muy diferentes. Sin embargo, como todos ellos son compactos son cuasi-isométricos hasta cierto punto. Como mencionó Paul, las propiedades locales de la variedad son irrelevantes para las cuasi-isometrías. Las cuasi-isometrías sólo captan el fenómeno a gran escala de la variedad.

Por otro lado, si no recuerdo mal, si tu colector tiene la propiedad isoperimétrica lineal (que se capta en el espectro del Laplaciano) también la tiene un colector cuasi-isométrico.

Answer 2

Los comentarios anteriores siguen siendo válidos en su mayor parte con $\epsilon$ -isometrías:

si $(M,g)$ y $(N,g)$ son variedades riemannianas con diámetros inferiores a $D$ entonces

$f:M\to N$ , $x\mapsto n_0$ para algunos $n_0\in N$ tiene

$$ |d_N(f(x),f(x')) - d_M(x,x')| = d_M(x,x') \leq D $$

y para todos $y \in N$ porque $$ d_N(y,n_0) \leq D $$

este $f$ es un $D$ -isometría. Por lo tanto, sólo tener una $\epsilon$ -para algunos grandes $\epsilon$ no debería verse como una ocurrencia improbable (sin embargo, la noción (aún más débil) de cuasi-isometría que utilizó antes de es una idea interesante, pero algún tipo noncompactness juega un papel importante en las cosas, como debería ser obvio a partir de todas estas respuestas.

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Por otro lado, $\epsilon$ -Las isometrías y el espectro están ciertamente relacionados de alguna manera, en particular con los límites inferiores de Ricci:

Por ejemplo, en el artículo de Cheeger y Colding, "On the structure of spaces with Ricci curvature bounded below. III". (J. Differential Geom., 54(1):37-74, 2000.) demuestran que para las variedades con límites inferiores de Ricci apropiados, bajo la convergencia de Gromov-Hausdorff el espectro y las funciones propias convergen en cierto sentido.

Por ejemplo, su Teorema 7.11 dice:

Para $M_1^n$ , $M_2^n$ , $$ Ric \geq -(n-1) $$ a $$ diam(N_1^n) \leq d < \infty $$ Entonces para todos $N < \infty$ y $\epsilon > 0$ hay un $\delta(n,d,\epsilon,N) > 0$ s $$ d_{GH}(M_1^n,M_2^n) < \delta $$ entonces para $j\leq N$ tenemos que $|\lambda_{j,1} - \lambda_{j,2}| <\epsilon$ donde $\lambda_{i,k}$ es el $i$ -eigenvalor en el $M_k$ .

Puede obtener más información al respecto aquí que también enlaza con un interesante trabajo de Lott sobre cómo la misma pregunta con el laplaciano en $p$ -formas.

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Sólo para aclarar cómo $d_{GH}$ está relacionado con $\epsilon$ -isometrías, por si no está claro. Es un teorema que la distancia Gromov-Hausdorff es $<\epsilon$ si existe un $\epsilon/2$ -isometría y viceversa. Un buen lugar para leer sobre esto es aquí

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Por tanto, esto debería darnos algún tipo de condición sobre lo cerca que pueden estar dos variedades compactas en la topología de Gromov-Hausdorff, si conocemos su espectro. Reescalarlas de modo que $Ric \geq -(n-1)$ y aplicando el teorema 7.11 se obtiene una cota inferior de $\epsilon$ . No estoy seguro de cuán explícito es el $\delta$ está en su prueba, sin embargo, si esto es importante para usted.