Problemas de factoriales (divisibilidad)

Question

Demuestre que, para cada $n \in \Bbb N$ el siguiente número es natural: $$\frac {(n!)!} {{n!}^{(n-1)!}}$$ . No sé cómo demostrarlo, ya que he intentado encontrar una manera incluyendo la combinatoria.

Answer 1

$(n!)!$ es el producto de $n! = n\cdot(n-1)!$ números consecutivos. Pero si $a+1,a+2,\ldots,a+n$ son $n$ enteros consecutivos, entonces: $$ \frac{(a+1)(a+2)\cdot\ldots\cdot(a+n)}{n!} = \binom{a+n}{n}\in\mathbb{Z},$$ por lo que su cociente es un número entero, ya que el producto de $(n-1)!$ enteros.

Answer 2

Utilizando el enfoque de coeficiente multinomial, tenemos

$$(n!)!\over n!\cdot n!\cdots n!$$

y el $\cdots$ representan el producto sobre $(n-1)!$ términos totales. Dado que cada término es $n!$ simplemente sumamos estos índices y obtenemos $n\sum_{i=0}^{(n-1)!}1=n!$ y obtenemos el coeficiente multinomial

$$\binom {n!}{n,n,n,\dots,n}$$

que siempre es un número entero.