Cómo demostrar que $C_0 (U)$ es un espacio de Banach

Question

Sea $\emptyset \neq U \subset \mathbb{R} ^d$ sea un conjunto abierto.

Defina $C_0(U) := \left\{ f \in C(U) : \forall \epsilon > 0 \exists K \subset U , K \mbox{ compact and }\sup_{x \in U \setminus K} |f(x)| < \epsilon \right\}$ .

Demostrar es que $(C_0 (U) , \left \lVert . \right \rVert_{\infty} )$ es un espacio de Banach.

Tengo enormes dificultades para demostrar que $C_0 (U)$ está completo. Sé que necesito una sucesión de Cauchy que converja en esa norma. Sería genial si alguien me puede ayudar a entender qué hacer con ese conjunto.

Answer 1

Si $f_n$ es una sucesión de Cauchy con respecto a la norma uniforme, entonces ya sabes que $f_n\rightarrow f$ donde $f$ es una función continua sobre $U$ (porque las funciones continuas con norma uniforme son un espacio de Banach). Queda por demostrar que $f\in C_0(U)$ .

Sea $\varepsilon>0$ ya que $f_n\rightarrow f$ que tiene para $N$ suficientemente tal que $\|f_n-f\|<\varepsilon/2$ siempre que $n>N$ . Fijar tales $n>N$ ya que $f_n\in C_0(U)$ existe $K$ tal que $\|f_n\|_{U\backslash K}<\varepsilon/2$

Por la desigualdad del triángulo $\|f\|_{U \backslash K} \leq \|f_n-f\| +\|f_n\|_{U\backslash K} < \varepsilon$

*Uso $\|f\|_{U \backslash K}$ para indicar $\sup_{x\in U\backslash K} |f(x)|$ .

Answer 2

Es un resultado estándar y no demasiado difícil que si $f_n$ es una sucesión de Cauchy de funciones continuas en la norma superemum, converge con esta norma a una función continua.

Así pues, queda por demostrar que el límite uniforme de las funciones continuas pequeñas fuera de los conjuntos $K_n$ también es pequeño fuera de un conjunto compacto. En efecto, sea $f_n\to f$ uniformemente. Entonces, para un $\epsilon$ podemos encontrar un $N(\epsilon)$ lo suficientemente grande como para que siempre que $n\geq N(\epsilon)$ tenemos $$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon/2$$ para cualquier $x\in U$ . Para este épsilon dado, también podemos encontrar un $K_{N,\epsilon}$ compacto en $U$ tal que $$|f_{N}(x)|<\epsilon/2$$ para cualquier $x\in U\setminus K_{N,\epsilon}$ . Entonces, por la desigualdad del triángulo, demostramos que $f$ también es pequeño fuera de este conjunto; dejemos que $x\in U\setminus K_{N,\epsilon}$ , $$||f(x)|-|f_n(x)||<\epsilon/2\implies |f(x)|<\epsilon/2+|f_n(x)|<\epsilon$$ Y se muestra la reclamación.