Encuentre la densidad posterior y calcule la media posterior.

Question

Ejercicio: Sea $X|\Theta = \theta$ tienen densidad $\dfrac{2x}{\theta^2}\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x)$ y que $\Theta$ tienen una distribución uniforme en $(0,c)$ donde $c$ es un número positivo (fijo) conocido. Hallar la densidad posterior de $\Theta$ y calcular la media posterior.

Lo que he probado: La media posterior es igual a $f_{\Theta|X}(\theta|x) \propto f_{X|\Theta}(x|\theta)\,f(\theta)$ . Así que en este ejercicio tenemos que $f_{\Theta|X} \propto \dfrac{2x}{\theta^2}\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x) \,\dfrac{1}{c}\mathbb{1}_{(0,c)}(\theta)$ . Sabiendo que conozco la densidad posterior puedo calcular la media posterior que viene dada por $$\operatorname{E}[\Theta|X] = \displaystyle\int\theta\,f_{\Theta|X}(\theta|x)d\theta = \int\theta\dfrac{2x}{\theta^2}\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x) \,\dfrac{1}{c}\mathbb{1}_{(0,c)}(\theta)d\theta = \int\dfrac{2x}{\theta}\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x) \,\dfrac{1}{c}\mathbb{1}_{(0,c)}(\theta)d\theta.$$ Como probablemente veas esto no me lleva muy lejos; cuando integras sobre $\theta$ acabas con $2x\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x)\bigg(\dfrac{1}{c}\log(c) - \dfrac{1}{c}\log(0)\bigg)$ que no está definido debido a la $\log(0)$ parte.

EDITAR: Pregunta: ¿Por qué no funciona mi planteamiento? Estoy utilizando todas las fórmulas correctas, ¿verdad?

Gracias de antemano.

Answer 1

$\def\d{\mathrm{d}}$ Su expresión para $E({\mit } \mid X)$ es correcto excepto para la normalización, pero la integración va mal. De hecho, $I_{(0, )}(x)$ se desprecia al integrar con respecto a $$, which requires that $> x$.

Respuesta completa: En primer lugar, porque $0 < X < {\mit } < c$ entonces $$\begin{align*} f_X(x) &= \int_{\mathbb{R}} f_{X \mid {\mit }}(x \mid ) f_{\mit }() \,\d = \int_{\mathbb{R}} \frac{2x}{^2} I_{(0, )}(x) \cdot \frac{1}{c} I_{(0, c)}() \,\d \\ &= \int_{\mathbb{R}} \frac{2x}{^2} I_{(x, +\infty)}() \cdot \frac{1}{c} I_{(0, c)}() \,\d = \frac{2x}{c} \int_x^c \frac{\d }{^2}\\ &= \frac{2x}{c} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{c} \right) = \frac{2}{c^2} (c - x). \end{align*}$$ Así, $$\begin{align*} E({\mit } \mid X) &= \int_{\mathbb{R}} f_{{\mit } \mid X}( \mid x) \,\d = \frac{1}{f_X(x)} \int_{\mathbb{R}} f_{X \mid {\mit }}(x \mid ) f_{\mit }() \,\d \\ &= \frac{c^2}{2(c - x)} \int_{\mathbb{R}} \cdot \frac{2x}{^2} I_{(0, )}(x) \cdot \frac{1}{c} I_{(0, c)}() \,\d \\ &= \frac{c^2}{2(c - x)} \int_{\mathbb{R}} \cdot \frac{2x}{^2} I_{(x, +\infty)}() \cdot \frac{1}{c} I_{(0, c)}() \,\d \\ &= \frac{cx}{c - x} \int_x^c \frac{\d }{} = \frac{cx}{c - x} (\ln c - \ln x). \end{align*}$$

Answer 2

$1_{(0,\theta)}(x)$ es distinto de cero sólo si $\theta \geq x$ . Así que la integral debe hacerse para $\int_x^c$ . Usted obtendría $\frac{2x}{c}\ln(c/x)$ .

También debe normalizar la densidad $f_{\Theta|x}$ para que $\int f_{\theta|x}d\theta = 1$ . Los detalles son:

$$f_{\Theta|x} = \frac{\frac{2x}{\theta^2}1_{(0,\theta)}(x)\frac{1}{c}1_{(0,c)}(\theta)}{\int \frac{2x}{\theta^2}1_{(0,\theta)}(x)\frac{1}{c}1_{(0,c)}(\theta) d\theta} = \frac{\frac{2x}{\theta^2}1_{(0,\theta)}(x)\frac{1}{c}1_{(0,c)}(\theta)}{\int_x^c \frac{2x}{c\theta^2} d\theta}= \frac{\frac{2x}{\theta^2}1_{(0,\theta)}(x)\frac{1}{c}1_{(0,c)}(\theta)}{\frac{2(c-x)}{c^2} }.$$ Ahora, $$\int f_{\Theta|x}d\theta = \frac{\int \theta\frac{2x}{\theta^2}1_{(0,\theta)}(x)\frac{1}{c}1_{(0,c)}(\theta)d\theta}{\frac{2(c-x)}{c^2} } = \frac{\int_x^c \frac{2x}{\theta}d\theta}{\frac{2(c-x)}{c^2} }= \frac{ 2x\ln(c/x)}{\frac{2(c-x)}{c^2} }.$$