Sea $f(x) = x^\top Q \, x$ donde $Q \in \mathbb R^{n×n}$ NO es simétrico. Demostrar que el hessiano es $H_f (x) = Q + Q^\top$

Question

Sea $$f(x) = x^\top Q \, x$$ sea una forma cuadrática, donde $Q \in \mathbb R^{n×n}$ NO es simétrico. Demostrar que la matriz hessiana es $$H_f (x) = Q + Q^\top$$ Pista: $x^\top Q \, x = x^\top Q^\top x.$

Si $Q$ es simétrico sé que $\nabla f(x) = 2 Q x$ y $H_f(x) = 2 Q$ . Sin embargo, no estoy seguro de lo que debo hacer cuando Q no es simétrico. Además, la sugerencia me resulta algo engañosa, ya que da a entender que $Q$ es simétrica. Se agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$ Q = \frac{ 1}{2} \underbrace{( Q + Q^T)}_{sym} + \frac{1}{2} ( Q - Q^T)$$ Si utiliza la pista proporcionada, entonces $$\begin{align*} (x,Qx) =& \frac{1}{2} (x,(Q+Q^T)x) + \frac{1}{2}(x,(Q-Q^T)x) \\ =& \frac{1}{2} (x,(Q+Q^T)x) + \frac{1}{2} \underbrace{(x,Qx)-(x,Q^Tx)}_{=0} \\ = & \frac{1}{2} (x,(Q+Q^T)x) \end{align*}$$