Demostrar $\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^1(\cos \frac1x)^n\mathrm dx=0$

Question

Demostrar $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 \left(\cos{\frac{1}{x}} \right)^n\mathrm dx=0$$

He intentado, pero no pudo. Cualquier ayuda será apreciada.

En la mayoría de los puntos de $(\cos 1/x)^n\to 0$, pero ¿cómo puedo demostrar que la integral tiende a cero de forma clara y convincente?

Answer 1

$$I_n=\int_{0}^{1}\cos^n\frac{1}{x}\,dx = \int_{1}^{+\infty}\frac{\cos^n x}{x^2}\,dx=\sum_{n\geq 0}\int_{1+2n\pi}^{1+(2n+2)\pi}\frac{\cos^n x}{x^2}\,dx$$ por lo tanto: $$ I_n = \frac{1}{4\pi^2}\int_{1}^{1+2\pi}\psi'\left(\frac{x}{2\pi}\right)\cos^n x\,dx$$ y por Cauchy-Schwarz desigualdad: $$ |I_n| \leq \frac{1}{4\pi^2}\sqrt{\int_{1}^{1+2\pi}\psi'\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2\,dx}\sqrt{\int_{0}^{2\pi}\cos^{2n}x\,dx}\leq\frac{C}{n^{1/4}}$$ por alguna constante positiva $C$. De ello se desprende que $I_n\to 0$ mientras $n\to+\infty.$

Answer 2

Sabemos que $\left|\cos(\frac{1}{x})\right|<1$, excepto en una contables establecidas, que por lo tanto tiene una medida de 0.

Por lo tanto, para casi cualquier $x \in [0;1]$, $\lim_{n \to +\infty} \left(\cos \frac{1}{x}\right)^n =0$.

Ya que para cualquier $x \in [0,1]$ y cualquier $n$, $|\cos(\frac{1}{x})^n|\leq 1$, podemos concluir por el uso de Lebesgue teorema de convergencia dominada.

Answer 3

Su integral coincide con $$ \int_1^{+\infty} \frac{(\cos u)^n}{u^2}\mathrm{d}u. $$ Para casi todos los $u>1$, $\lim_n (\cos u)^n =0$, y $$ \frac{|\cos u|^n}{u^2} \leq \frac{1}{u^2}.$$ Desde $(u \mapsto u^{-2} ) \in L^1(1,+\infty)$, por el Teorema de Convergencia Dominada de la integral converge a cero. En realidad esto es sólo una pequeña variante fo Villetaneuse de la prueba...

Answer 4

Tenga en cuenta que si $x=\frac{1}{k\pi}$ ($k\in\mathbb{N}$), $\cos\frac{1}{x}=(-1)^k$. Fix $\varepsilon\in(0,1)$ tal que $\frac1{\varepsilon \pi}$ no es un número entero. Deje $M=[\frac1{\varepsilon \pi}]$. Claramente si $k<M$, $\frac{1}{k\pi}\in(\varepsilon,1]$ vamos $$ I_k=(\frac{1}{k\pi}-\frac{\varepsilon}{2^k}, \frac{1}{k\pi}+\frac{\varepsilon}{2^k}). $$ Escribir $[0,1]$ $$ [0,1]=[0,\varepsilon]\cup([\varepsilon,1]\setminus\cup_{k=1}^MI_k)\cup\cup_{k=1}^M I_k. $$ Nota $$ \bigg|\int_{I_k}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^ndx\bigg|\le|I_k|=\frac{\varepsilon}{2^{k-1}}. $$ Si $x\in [\varepsilon,1]\setminus\cup_{k=1}^M I_k$, $|\cos\frac{1}{x}|<1$ y, por tanto, delimitada por el teorema de convergencia, $$ \lim_{n\to\infty}\int_{[\varepsilon,1]\setminus\cup_{k=1}^M I_k} \left(\cos\frac{1}{x}\right)^ndx=0 $$ y, por lo tanto, para la citada $\varepsilon$, $N>0$ tal que cuando se $n>N$, $$ \bigg|\int_{[\varepsilon,1]\setminus\cup_{k=1}^M I_k} \left(\cos\frac{1}{x}\right)^ndx\bigg|<\varepsilon. $$ Así, cuando el $n>N$, \begin{eqnarray} \bigg|\int_{[0,1]} \left(\cos\frac{1}{x}\right)^ndx\bigg|&\le&\bigg|\int_{[0,\varepsilon]} \left(\cos\frac{1}{x}\right)^ndx\bigg|+\bigg|\int_{[\varepsilon,1]\setminus\cup_{k=1}^\infty I_k} \left(\cos\frac{1}{x}\right)^ndx\bigg|\\ &&+\sum_{k=1}^M\bigg|\int_{I_k}\left(\cos\frac{1}{x}\right)^ndx\bigg|\\ &\le&2\varepsilon+\sum_{k=1}^\infty\frac{\varepsilon}{2^{k-1}}=4\varepsilon \end{eqnarray} Por lo tanto $$ \lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]} \left(\cos\frac{1}{x}\right)^ndx=0 $$

Answer 5

usted puede tratar de sustituir el $t=\frac1x$.

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\cos^n \frac1x\mathrm dx \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\int_{+\infty}^1\ \frac {cos^n(t)}{-t^2}\mathrm dt \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\int_1^{+\infty}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt$$

A continuación nos cuenta sobre el integral.

\begin{align} \left|\int_1^{+\infty}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt\right| &=\left|\int_1^{2\pi}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt+\sum_{i=1}^\infty \int_{2 \pi i}^{2\pi(i+1)}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt\right|\\ &\leqslant\left|\int_1^{2\pi}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt|+\sum_{i=1}^{\infty} |\int_{2\pi i}^{2\pi(i+1)}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt\right|\\ &\leqslant \int_1^{2\pi}\ \left|\frac {cos^n(t)}{t^2}\right|\mathrm dt+\sum_{i=1}^\infty \int_{2 \pi i}^{2\pi(i+1)}\ \left|\frac {cos^n(t)}{t^2}\right|\mathrm dt. \end{align}

Se denota el área bajo $\cos^n(t)$ entre 0$2\pi$ $S_n$(no considerar el signo).

$$\int_1^{2\pi}\ \left|\frac {cos^n(t)}{t^2}\right|\mathrm dt+\sum_{i=1}^\infty \int_{2 \pi i}^{2\pi(i+1)}\ \left|\frac {cos^n(t)}{t^2}\right|\mathrm dt \leq \frac {S_n}{1^2}+\sum_{i=1}^\infty \frac {S_n}{(2\pi i)^2}=S_n(1+\sum_{i=1}^\infty \frac {1}{(2\pi i)^2}).$$

Desde $\displaystyle 1+\sum_{i=1}^\infty \frac {1}{(2\pi i)^2}$ es convergente,se denota como M.

Así que tenemos $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\int_1^{+\infty}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt\right| \leq \lim_{n\to\infty} S_nM$.

desde $S_n \to 0$$n\to\infty$.(Hacerlo. :-) )

por lo que $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\int_1^{+\infty}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt\right|=0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\int_1^{+\infty}\ \frac {cos^n(t)}{t^2}\mathrm dt=0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\int_0^1\cos^n \frac1x\mathrm dx=0$

Por qué $\lim_{n\to\infty}S_n=0$ ?

Primero sólo nos centramos en el área de $T_n$$cos^n(t)$$0$$\frac \pi2$.
Entonces, de acuerdo a la simetría de $cos^n(t)$,$S_n=4T_n$.
$T_n=\int_0^{\frac\pi2}|cos^n(t)|\mathrm dt=\int_0^{\frac\pi2}cos^n(t)\mathrm dt$

A continuación nos aviso si $0\leq x <1$, $\lim_{n\to\infty} x^n=0$ $0\leq cos^n(t)\leq 1$ t rangos de$0$$\frac \pi2$.
$\lim_{n\to\infty}cos^n(t)=0$ si $t\neq0$ $\lim_{n\to\infty}cos^n(t)=1$ si $t=0$

Deje $f_n(t)=cos^n(t)$$g(t)=cos(t)$.
$|f_n(t)|\leq g_n(t)$ t rangos de$0$$\frac \pi2$.

Según Dominado Convergente Teorema,
Tenemos $\lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac\pi2}\cos^n(t)\mathrm dt=\int_0^{\frac\pi2}\lim_{n\to\infty}cos^n(t)\mathrm dt$.
El lado izquierdo es $\lim_{n\to\infty}T_n$,y en la parte derecha nos da 0.
$\lim_{n\to\infty}T_n=0\Rightarrow\lim_{n\to\infty}S_n=0$