Cuando estaba en la universidad (a finales de los 90, hacia 1995) me dijeron que se había investigado la $2$ (el cuadrado de la distancia) en la ley de gravitación universal de Newton.
$$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}.$$
Tal vez un modelo como
$$F=G\frac{m_1m_2}{r^a}$$
con $a$ ligeramente diferente de $2$ digamos $1.999$ o $2.001$ ¿se ajusta mejor a algunos datos experimentales?
¿Es eso cierto? ¿O he entendido algo mal?
Veamos primero por qué la forma cuadrada inversa es especial. Teorema de Betrand afirma que sólo dos tipos de potenciales centrales producirán órbitas estables. El potencial de oscilador armónico $V=\frac{1}{2}kr^2$ y el potencial $V=-\frac{k}{r}$ que producirá una ley de fuerza cuadrática inversa. Obviamente, la edad del universo es finita, por lo que el hecho de que las órbitas de los planetas hayan sobrevivido hasta ahora no tiene por qué implicar que siga siendo así en el futuro.
Otro argumento por el que este tipo de potencial es tan común es que, al hacer teoría cuántica de campos, el propagador (los detalles dependen de si la partícula es un bosón (gauge), un fermión o un escalar, por ahora me quedo con los escalares) tiene forma
$$\frac{1}{q^2+m^2}$$
Por lo tanto, si esta partícula donde el portador de la fuerza de su fuerza con el acoplamiento $g$ el potencial es básicamente la transformada de Fourier del propagador
$$V(r) =-g^2\frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3k\frac{4\pi}{q^2+m^2}e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}} = -g^2\frac{1}{r}e^{-mr}$$
Este es el famoso potencial de Yukawa. Para los portadores de fuerza sin masa, el término de amortiguación llega a 1 y la fuerza se vuelve de largo alcance con una ley de fuerza cuadrática inversa. Hasta pequeños detalles esto es análogo al caso del bosón gauge, por ejemplo, la falta de masa del fotón hace que la fuerza EM sea de largo alcance, mientras que la masividad de los bosones W,Z hace que las fuerzas débiles sean de corto alcance.
Las derivaciones anteriores utilizan las tres dimensiones espaciales. Las teorías con dimensiones extra han sugerido que las dimensiones extra grandes alterarán la ley del cuadrado inverso en algunas distancias no tan cortas (rango sub-mm). Existen resultados experimentales publicados, por ejemplo, del grupo Eöt-Wash ( http://www.npl.washington.edu/eotwash/experiments/shortRange/sr.html ) y están disponibles en arXiv.
Una posible prueba está aquí $$V(r)=-G\frac{m_1m_2}{r}(1+\alpha\exp(-r/\lambda))$$
El siguiente gráfico muestra los límites de exclusión para ambos parámetros $\alpha$ y $\lambda$
Esto fue sugerido por Asaph Hall en 1894, en un intento de explicar las anomalías en la órbita de Mercurio. He recuperado el artículo original en http://adsabs.harvard.edu/full/1894AJ.....14...49H
Curiosamente, menciona en la introducción que el propio Newton ya había considerado en los Principia qué ocurre si el exponente no es exactamente 2, ¡y había concluido que las observaciones de que disponía apoyaban firmemente la potencia exacta 2!
La historia se relata, por ejemplo, en la p.356 de N.R. Hanson, Isis 53 (1962), 359-378.
Véase también la sección 2 del http://adsabs.harvard.edu/full/2005MNRAS.358.1273V
Pero, por supuesto, la teoría de Newton no es correcta, sino la de Einstein. Si se utiliza la relatividad general GR, se suele hablar de curvatura, etc. en lugar de fuerzas.
No obstante, los resultados pueden expresarse en términos de fuerza efectiva.
Esta referencia http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/node116.html da
$F = -GM/r^2 -3GMh^2/(c^2r^4)$
donde h es el momento como corrección de primer orden. Las de orden superior han sido calculadas por la PPN y la gente de ondas gravitacionales. Esta corrección es muy pequeña, excepto para los objetos que se mueven muy rápido. En la práctica, se aplica a los cuerpos que orbitan muy cerca de un agujero negro o una estrella de neutrones. Famosamente, también es responsable de la precesión del perihelio de Mercurio.
En efecto, se habló del exponente en $r$ durante finales de los 90 y los primeros años del siglo XXI. El problema, si no recuerdo mal, era la materia oscura, que sólo puede observarse indirectamente observando la rotación anómala de las galaxias. Se sugirió que quizás la ley de Newton se rompía bajo ciertas condiciones. De nuevo, si no recuerdo mal, se publicaron varios artículos, pero la idea no prosperó.
Efectivamente, se ha investigado sobre la Anomalía pionera : Dos naves espaciales lanzadas en la década de 1970 al sistema solar exterior no se movieron como se esperaba (según los cálculos debidos a la gravedad y al viento solar) después de ca. 1980. Sólo a partir de la década 2000-2010 la fuente de la discrepancia, el empuje accidental por radiación térmica, se convirtió en un consenso generalmente aceptado. Anteriormente, era al menos concebible interpretar los datos como si contuvieran indicios de sutiles diferencias entre la gravedad real observada y nuestra comprensión teórica de la gravedad.
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