Demuestra la ecuación utilizando las funciones de Bessel: $\frac{d}{dx}[xJ_n(x)J_{n+1}(x)]=x[J_n^{2}(x)-J_{n+1}^{2}(x)]$

Question

La cuestión es demostrar que $$\frac{d}{dx}[xJ_n(x)J_{n+1}(x)]=x[J_n^{2}(x)-J_{n+1}^{2}(x)]$$

He intentado usar la regla del producto y la definición de Bessel, pero acabo hecho un lío y sin final a la vista. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Creo que no te esforzaste mucho usando la regla de la cadena.

Nuestra respuesta debe ser en términos de $J_n(x)$ y $J_{n+1}(x)$ así que escribe todo en términos de ellos (usa la recurrencia para escribir $J_{n+2}$ en términos de $J_{n+1}$ y $J_n$ ).
$$J_n'(x) = \frac{n}{x} J_n(x) - J_{n+1}(x) \tag{1}$$

$$J_{n+1}'(x) = J_n(x) - \frac{n+1}{x} J_{n+1}(x) \tag{2}$$

Regla de la cadena: $$\frac{d}{dx}\big[xJ_n(x)J_{n+1}(x)\big] = J_n(x)J_{n+1}(x) +xJ_n'(x)J_{n+1}(x) +xJ_n(x)J_{n+1}'(x)$$ Enchufar $(1)$ y $(2)$ . Ampliar.