Cómo integrar $\frac{4x}{x^3+x^2+x+1}$

Question

Me gustaría saber cómo integrar $$\frac{4x}{x^3+x^2+x+1}$$

Por favor, ¿alguien podría ayudarme?

Gracias a todos

Answer 1

Tenga en cuenta que $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$ . Utilizamos fracturas parciales . Así que tratamos de encontrar constantes $A,B,C$ tal que $$\frac{4x}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.$$ Llevar el lado derecho al común denominador $(x+1)(x^2+1)$ . Los numeradores deben ser idénticamente iguales. De ello se deduce que $$4x=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1).$$ Establecer $x=-1$ . Obtenemos $-4=2A$ y, por lo tanto $A=-2$ .

A la derecha, el coeficiente de $x^2$ es $-2+B$ . A la izquierda $0$ . De ello se deduce que $B=2$ .

A la derecha, el coeficiente de $x$ es por lo tanto $2+C$ . Así $C=2$ . Concluimos que $$\frac{4x}{(x+1)(x^2+1)}=-\frac{2}{x+1}+\frac{2x+2}{x^2+1}.$$

Así que queremos integrar $-\frac{2}{x+1}+\frac{2x}{x^2+1}+\frac{2}{x^2+1}$ .

El resto es sencillo. Para integrar $\frac{2x}{x^2+1}$ deje $u=x^2+1$ .

Answer 2

El denominador tiene raíces $i$ , $-1$ y $-i$ por lo que se puede escribir de la siguiente manera $$ \frac{4x}{(x-i)(x+1)(x+i)}$$

Ahora sepáralo en fracciones parciales e integra cada una de ellas individualmente .