La energía de vacío para un campo libre es la energía de estado fundamental de cada oscilador de campo, ${1\over 2} \omega$ sumados todos los modos. Para una caja cúbica periódica de longitud lateral L, se obtiene
$$\sum_k {1\over 2} \sqrt{k^2+m^2}$$
Donde la suma es todos los k en una red cúbica 3d de tamaño infinito donde cada componente k es un múltiplo entero de $2\pi\over L$ . Cuando haces L grande, esto hace que la red k sea continua, y la suma se convierte en una integral:
$$({L\over 2\pi})^3 \int \sqrt{k^2+m^2} d^3k $$
Si pones un límite $\Lambda$ el resultado diverge como
$$ E\propto V \Lambda^4 $$
de modo que la densidad de energía sea proporcional a la cuarta potencia del momento de corte. Esta integral reproduce la expectativa dimensional cuando $\Lambda$ es la longitud de Planck.
Para las teorías de campos interactivos, la energía del vacío es la suma de todos los diagramas de Feynman de bucles de vacío. En el caso libre, el bucle no es más que un único propagador unido a sí mismo (se trata de un diagrama de Feynman muy degenerado). El signo de los bucles Fermión y Bosón son opuestos, y los osciladores Fermiónicos con la definición más natural de energía dan una energía de vacío de signo opuesto en cada oscilador. En una teoría supersimétrica, cuando el Hamiltoniano se presenta en la forma que preserva la supersimetría, la energía de vacío es cero. Este es el único principio que conocemos hoy en día que puede controlar la constante cosmológica.
el problema es que SUSY se rompe en nuestro mundo a una escala de corte de aproximadamente un Tev, por lo que las cancelaciones en SUSY no son exactas. Esto significa que la energía residual del vacío no SUSY tiene que cancelarse desde la escala del Higgs (como mínimo) hasta la escala de la constante cosmológica observada, que es muchos órdenes de magnitud menor.
No puedes deshacerte de la energía del vacío mediante una afirmación natural de que el vacío tiene energía cero, porque el vacío en la QCD (y en el mecanismo de Higgs) está lleno de basura. Hay un condensado de piones, un condensado de gluones y un condensado de Higgs como mínimo, y si haces que todo se cancele para nuestros valores exactos de las masas de los quarks y los leptones, si cambias la masa del quark, la densidad de energía del condensado cambia de formas extremadamente complicadas, de modo que la constante de sustracción debe ajustarse a un valor mágico sin explicación dinámica.
Weinberg sugirió que se trata de un accidente antrópico, es decir, que necesitamos una constante cosmológica baja para que evolucione la vida inteligente. Esto predice que la constante cosmológica debería ser exactamente del mismo orden que la densidad de la materia actual, después de que la vida haya evolucionado, pero no más baja, ya que no necesita ser más baja. Esto es lo que se observa, así que Weinberg podría tener razón, y podría no haber explicación para la constante cosmológica.
Si Weinberg tiene razón, el vacío de cuerdas que describe nuestro universo será muy especial: será un vacío no supersimétrico con una constante cosmológica accidentalmente pequeña. Si esto es un accidente sin ton ni son, entonces será muy útil para elegir el vacío correcto. Sabremos que lo tenemos cuando produzca la constante cosmológica correcta.
