Variable aleatoria $X$ independientes por pares a la gaussiana $Y, Z$ $\implies$ $X$ no correlacionado con $YZ$ ?

Question

Para mi Tesis de Licenciatura necesito una prueba para el siguiente lema. He intentado muchas ideas, pero sin éxito. ¡Cualquier idea es muy apreciada!

Sea $X$ sea una variable aleatoria y $Y,Z$ variables aleatorias gaussianas.

$X$ independientes por pares a $Y, Z$ $\implies$ $X$ no correlacionado con $YZ$

Ya sé que $YZ = \frac{1}{4}(Y+Z)^2 - \frac{1}{4}(Y-Z)^2$ pero en realidad no podría usarlo. Los fundamentos en teoría de la medida existen. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Esto no es cierto. Usted podría haber $X$ sea el signo de $YZ$ donde $Y$ y $Z$ tienen una distribución normal estándar.