Coeficientes de una expansión en serie bajo aritmética modular

Question

Estoy leyendo un artículo de Ramanujan sobre particiones y necesito ayuda para entender un paso intermedio que utiliza en una demostración. Él escribe:

... todos los coeficientes en $(1-x)^{-5}$ son múltiplos de 5, excepto los de $1$ , $x^5$ , $x^{10}$ , $...$ que son congruentes con 1: t $$ \dfrac{1}{(1-x)^5} \equiv \dfrac{1}{1-x^5} \pmod 5 $$ o $$ \dfrac{1-x^5}{(1-x)^5} \equiv 1 \pmod 5 $$

Se puede comprobar fácilmente que los coeficientes tienen esta propiedad, tenemos la expansión en serie:

$$ (1-x)^{-5} = 1 + 5x + 15x^2 + 35x^3 +70x^4 + 126x^5 + \dots $$

Así es como yo lo enfocaría. Para la ampliación de la serie puedo escribir:

$$ \begin{align} (1-x)^{-5} &= \sum_{k=0}^\infty \binom{k+4}{4}x^k\\ &= \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(k+4)!}{4!k!} x^k\\ &= \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)}{4!}x^k\\ &= \sum_{k=0}^\infty \dfrac{24 + 50 k + 35 k^2 + 10 k^3 + k^4}{24}x^k \end{align} $$

y mirando los coeficientes modulo 5:

$$ \dfrac{24 + 50 k + 35 k^2 + 10 k^3 + k^4}{24} \equiv 1-k^4 \pmod 5 $$

y puedo ver que $k \equiv 0$ da el coeficiente congruente a 1 mientras que cualquier otro valor de k da como resultado que el coeficiente es congruente a 0, el resultado deseado. Aún así, estoy confuso sobre la relevancia/significado de las congruencias que escribió Ramanujan. ¿Puede alguien ayudarme a entender lo que quiso decir? Siento que me estoy perdiendo algo.

Answer 1

Espero que sepa lo siguiente

Teorema : Si $p$ es un número primo, entonces $p$ divide los coeficientes binomiales $\binom{p}{a}$ para $a=1,2,\dots, (p-1)$ .

Por lo tanto, tenemos $$(1-x)^{5}\equiv 1-x^5\pmod{5}$$ y tomando recíprocos $$\frac{1}{(1-x)^{5}}\equiv \frac{1}{1-x^5}\pmod {5}$$

La clave aquí es la congruencia de las series de potencias formales con coeficientes enteros. Sea $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n, \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ sean dos series de potencias formales con coeficientes enteros. Entonces decimos que $$\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\equiv \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n\pmod{m} $$ si $a_n\equiv b_n\pmod {m} $ para todos $n$ .

Tales congruencias siguen reglas usuales como que uno puede sumar / restar la misma serie formal a cada lado de una congruencia o multiplicar ambos lados de una congruencia por la misma serie formal y la congruencia resultante sigue siendo válida.

Del mismo modo, podemos tomar los recíprocos de ambos lados de una congruencia si las series formales resultantes tienen coeficientes enteros (¡demuéstrelo!). Nótese que esto requiere que las series formales implicadas tengan sus términos constantes iguales a $1$ de modo que tomando los recíprocos se obtienen coeficientes enteros.

---

Ramanujan era un maestro de este tipo de manipulación con series formales y productos y utilizó este enfoque ampliamente. Mi conjetura aquí es que usted encontró esta técnica en la demostración de la congruencia de partición $$p(5n+4)\equiv 0\pmod{5}$$

Answer 2

Pasos:

$$y=(a+b)^n\equiv a^n+b^n\pmod n\iff n\in\mathbb{P}\tag{1}$$ Entonces, $$y\equiv w\pmod n\implies y^{-1}\equiv w^{-1}\pmod n\tag{2}$$ Así como, $$y\equiv w\pmod n\ \overset{(2)}\implies w\cdot (y^{-1})\equiv w\cdot (w^{-1})\pmod n\tag{3}$$ Finalmente por, $$w\cdot (w^{-1})\equiv 1\pmod n\tag{4}$$ obtenemos nuestro resultado por sustitución.