Me he dado cuenta de que el espacio dual del espacio dual de un espacio vectorial es igual al propio espacio vectorial. Según tengo entendido, el dual del dual del espacio vectorial contiene funciones definidas en el dual, pero funciones al fin y al cabo. ¿Cómo puede considerarse que el dual del dual es lo mismo que el espacio vectorial original? Si elijo mi espacio vectorial como $\mathbb{R}$ Equipado con las operaciones habituales, ¡no es un espacio de funciones!
Respuesta
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El doble $V^*$ de un espacio vectorial $V$ es el espacio de lineal funciones en $V$ . El dual del dual (el doble dual) es el espacio de funciones lineales sobre el espacio dual.
Para $v\in V$ puede definir un elemento del doble dual utilizando un mapa $\phi:V\to V^{**}$
$$ \phi(v)(\alpha) = \alpha(v) \quad \forall \alpha\in V^* $$
Para cada $v\in V$ esto define un mapa lineal desde $V^*\to\mathbb{R}$ (deberías comprobarlo) así que $V$ puede considerarse como un espacio de funciones lineales sobre $V^*$ .
Obsérvese que probar que $V$ es isomorfo a $V^{**}$ es no del todo trivial .
