Verifique $\neg (Q \rightarrow (P \lor Q ) ) $ es una falsedad por deducción

Question

Esta es la definición de $ \bf PL $

Sea $ S = S _ { \bf PL } $ el conjunto de símbolos lógicos para $ \bf PL $ sea la unión de los tres conjuntos siguientes:

$ Con = \{ \neg , \lor , \land , \rightarrow , \leftrightarrow \} $ es el conjunto de conectivas;

$ Props = \{ P _ 1 , P _ 2 , P _ 3 , \dots \} $ es el conjunto (contablemente infinito) de variables proposicionales; y

$ \{ ( , ) \} $ los paréntesis izquierdo y derecho.

Y aquí están los normas de deducción .

Intenté empezar asumiendo $ Q $ .

Verificación de deducciones $ \neg ( Q \rightarrow ( P \lor Q ) ) $

1. $ Q ^ * \qquad \qquad \qquad $ Hipotético
2. $ ( P \lor Q ) ^ * \qquad \qquad (VI) $ en $ ( 1 ) $
3. $ Q \rightarrow ( P \lor Q ) \qquad ( \rightarrow I ) $ en $ ( 1 , 2 ) $

Pero no puedo encontrar una falsedad. ¿Cómo puedo continuar?

Dudo que ya estoy haciendo mal en el paso 3. $ Q ^ * $ ya se utiliza para construir $ ( P \lor Q ) ^ * $ . Si quiero construir $ Q \rightarrow ( P \lor Q ) $ tengo que asumir $ Q ^ { ** } $ antes, ¿no?

Answer 1

Tu paso $(3)$ está bien. Habiendo asumido $Q$ se obtiene $Q\lor P$ correctamente en el paso (2). Entonces, está justificado concluir (derivar) que $Q\rightarrow (P \lor Q)$ a través de $\to$ Introducción.

En $(3)\quad Q\to(P \lor Q))$ $\quad (\to I)\quad$ en $(1,2)\;\;$ [en el que ha descargado el supuesto Q]

puede utilizar $\lnot\lnot\,$ I para concluir $$(4)\quad\lnot\lnot (Q\to (P\lor Q))\equiv \lnot (\lnot( Q\to (P\lor Q)))\qquad (\lnot\lnot I)\quad \text{ on } (3)$$

En otras palabras, dado tu comentario final sobre lo que pretendes hacer ("Verificar ¬(Q →(P ∨ Q)) es una falsedad"),

habrás demostrado que es NO el caso de que $\lnot(Q\to(P\lor Q))$ es cierto. En otras palabras, habrás demostrado que $\lnot(Q\to (P\lor Q))$ es, en efecto, falso.