Mostrar gráficamente una igualdad (estimación)

Question

Supongamos que $$Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + u_i$$ es nuestra función de regresión poblacional con $\beta_1$ el intercepto de la línea de regresión de la población, $\beta_2$ la pendiente de la línea de regresión de la población, $u_i$ el término de perturbación, $X_i$ el regresor y $Y_i$ la regresión.

¿Cómo puedo explicar esta relación $\operatorname{E}(\hat \beta_2 u_i) = \operatorname{Cov}(\hat \beta_2,u_i)$ ¿gráficamente? (donde $\hat \beta_2$ es el estimador MCO de $\beta_2$ ).

Answer 1

Yo asumiría que $(u, \hat{\beta_1})$ siguen la distribución bivariada normal y dibujarían $n$ pares $(u_i, \beta_{1i})$ de esta función, trazarla y dibujar $u=\frac{S_u}{S_{\beta_1}}r(b_1-\beta_1)$ para ilustrar $\mathbb{E}[u|\beta_1=b_1]$ . Donde los parámetros para la distribución bivariada se pueden tomar como los estimadores MLE de $\sigma^2, \beta_1, \rho...$

No estoy seguro de que esta sea la mejor manera, pero a efectos ilustrativos debería funcionar.