Este es un problema de mi libro de teoría de la medida:
Sea $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ sea un espacio de medidas, $p\in(0,1)$ y $q<0$ se define por $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ . Considera no negativo $f\in\mathcal{L}^p$ y medibles $g:\Omega\to (0,\infty)$ satisfaciendo $0<N_q(g):= (\int g^q )^{1/q}<\infty$ . Mediante una aplicación adecuada de la desigualdad de Hölder, demuéstrese que $$ N_1(fg)\geq N_p(f)N_q(g).$$ Inferir que $$ N_p(f+g)\geq N_p(f)+N_p(g)$$ y encontrar un ejemplo que demuestre que, en general, la igualdad no prevalece aquí.
Para la primera desigualdad hice lo siguiente: Sea $p'=1/p>1$ y $q'>1$ se define por $\frac{1}{p'}+\frac{1}{q'}=1$ . Entonces la desigualdad de Hölder implica que
$$\int f^p=\int (fg)^p g^{-p}\leq N_{p'}((fg)^p) N_{q'}(g^{-p}).$$ Comprobamos que $p'\cdot p=1$ y $-p\cdot q'=q$ para que realmente tengamos
$$\int f^p\leq N_1(fg)^p N_q(g)^{-p}$$
Elevar ambos lados al poder $1/p$ obtenemos
$$ N_p(f)\leq N_1(fg)N_q(g)^{-1}$$
Multiplicando ambos lados por $N_q(g)$ da el resultado.
A partir de ahí pude demostrar la segunda desigualdad utilizando el enfoque de mi libro para demostrar la desigualdad normal de Minkowski y la desigualdad que se acaba de demostrar. Sin embargo, nunca utilicé el hecho de que $f \in \mathcal{L}^p$ . ¿Es una suposición redundante? ¿Tiene ejemplos de una desigualdad estricta para ambos?
Muchas gracias por su ayuda.
