El funcional límite en el espacio de secuencias de todas las secuencias convergentes es un funcional acotado con norma 1

Question

Sea $c$ es el conjunto de todas las secuencias reales (o complejas) convergentes y $l_\infty$ sea el conjunto de todas las secuencias reales (o complejas) acotadas. Ahora $l_\infty$ es un espacio lineal normado con respecto a la conocida sup-norma definida por $$\|(x_n)_n\|_\infty=\sup_n |x_n|$$

Entonces, podemos definir un funcional lineal $f:c\to \mathbb K$ por $$f((x_n)_n)=\lim_{n\to \infty} x_n$$ donde, $\mathbb K=\mathbb R$ o $\mathbb C$

He leído que $\|f\|=1.$

Mi enfoque : $$|f(x)|=|\lim_n x_n|\leq \sup_n |x_n|=\|x\|_\infty$$ Así, $$\frac{|f(x)|}{\|x\|_\infty}\leq 1$$ Lo que implica que $\|f\|\leq1$ .

Mi pregunta : ¿Cómo puedo demostrar que $\|f\|\geq1$ ?

Answer 1

Pista: Considera una secuencia constante.