Espacio tangente del colector de productos

Question

Estaba intentando demostrar la siguiente afirmación (#9(a) en Guillemin & Pollack 1.2) pero no pude avanzar mucho.

"Demuestre que para cualesquiera variedades $X$ y $Y$ , $$T_{(x,y)}(X\times Y)=T_x(X)\times T_y(Y).$$ "

Mi intento hasta ahora: Parametrizar X e Y localmente con $U\overset{\phi}{\longrightarrow}X$ y $V\overset{\psi}{\longrightarrow}Y$ donde $U\subset \mathbf R^m$ y $V\subset \mathbf R^n$ .

Ahora podemos parametrizar $U\times V\overset{\phi\times \psi}{\longrightarrow}X\times Y$ . Tomando el mapa de derivadas, tenemos el plano tangente.

$\mathbf R^{m+n}\overset{d(\phi\times \psi)}\longrightarrow T_{(x,y)}(X\times Y)$ . No sé qué hacer después de esto... Aparentemente se supone que debemos establecer alguna relación entre $T_{(x,y)}(X\times Y)$ y $T_x(X)\times T_y(Y)$ ...

¿Alguien quiere ayudarme? Gracias.

Answer 1

No entiendo lo que intentas hacer y esto es lo que yo haría. Considera las proyecciones canónicas $\pi_X,\pi_Y$ de $X \times Y$ a $X$ y $Y$ respectivamente. Sea $(p,q) \in X \times Y$ y ahora consideremos el mapa

$$f : T_{(p,q)}(X \times Y) \to T_p X \times T_q Y$$

que envía un vector $v$ a los elementos $\Big(d(\pi_X)_{(p,q)}(v), d(\pi_Y)_{(p,q)}(v) \Big)$ . Se puede comprobar fácilmente que este mapa es un mapa lineal que es un isomorfismo con la inversa dada por $g : T_p X \times T_q Y \to T_{(p,q)} (X \times Y)$ que envía un par de vectores $(v,w)$ a $d(\iota_X)_p(v) +d(\iota_Y)_q(w)$ donde $\iota_X : X \to X\times Y$ envía $X$ a la rebanada $X \times \{q\}$ y análogamente para $\iota_Y$ .

Answer 2

Supongo que quieres demostrar que existe un isomorfismo entre los dos espacios, si es así, te remito al excelente libro de Loring Tu Introducción a los manifolds. El problema 8.7 es la pregunta que buscas y la solución está al final. En pocas palabras, demostró un isomorfismo enviando elementos de base a elementos de base utilizando el diferencial de los mapas de proyección.

(El libro de Tu se puede encontrar utilizando Google, basta con buscar "tu introduction to manifolds")

Espero que esto ayude.

Answer 3

Abusando un poco. En ninguna parte del problema dice exactamente qué usar y qué no así, para demostrar que $$T_{(x,y)}(X\times Y)=T_{x}X\times T_{y}Y$$ puede utilizar un argumento dimensional. Dado que dim $(T_{(x,y)}(X\times Y))=$ dim $(T_{x}X\times T_{y}Y)$ y que ambos espacios vectoriales son de dimensión finita, entonces ambos son isomorfos.

Lo sé, lo sé, es feo... Pero es correcto.