Problema
Estaba leyendo la pregunta ¿Por qué el triple pitagórico más pequeño $(x,y,z)=(3,4,5)$ no cerca (en proporción $x/y$ ) a cualquier otro triple pequeño? . Se me ocurrió esta pregunta:
Sea $(a, b, c)$ sea una tupla pitagórica donde $a < b < c$ . ¿Cuál es la valor máximo posible de $a / b$ ?
(Un triple $(a, b, c)$ es un triple pitagórico si $a, b, c \in \mathbb{Z}^+$ y $a^2 + b^2 = c^2$ )
Mi intento
Conozco la fórmula de Euclides $^1$ $$ a = 2mn, \qquad b = m^2 - n^2, \qquad c = m^2 + n^2. \qquad (m,n \in \mathbb{Z}^+, m > n)$$ Por lo tanto, $$ \frac{a}{b} = \frac{2mn}{m^2 - n^2}. $$ Ahora, ¿cómo puedo maximizarlo? No veo mucha relación entre el numerador y el denominador.
$^1$ Resulta que este paso es erróneo: no tiene en cuenta el caso en que $2mn > m^2 - n^2$ .