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Máxima relación entre el cateto más corto y el más largo de un triángulo pitagórico

Problema

Estaba leyendo la pregunta ¿Por qué el triple pitagórico más pequeño $(x,y,z)=(3,4,5)$ no cerca (en proporción $x/y$ ) a cualquier otro triple pequeño? . Se me ocurrió esta pregunta:

Sea $(a, b, c)$ sea una tupla pitagórica donde $a < b < c$ . ¿Cuál es la valor máximo posible de $a / b$ ?

(Un triple $(a, b, c)$ es un triple pitagórico si $a, b, c \in \mathbb{Z}^+$ y $a^2 + b^2 = c^2$ )


Mi intento

Conozco la fórmula de Euclides $^1$ $$ a = 2mn, \qquad b = m^2 - n^2, \qquad c = m^2 + n^2. \qquad (m,n \in \mathbb{Z}^+, m > n)$$ Por lo tanto, $$ \frac{a}{b} = \frac{2mn}{m^2 - n^2}. $$ Ahora, ¿cómo puedo maximizarlo? No veo mucha relación entre el numerador y el denominador.


$^1$ Resulta que este paso es erróneo: no tiene en cuenta el caso en que $2mn > m^2 - n^2$ .

3voto

Martin R Puntos 7826

Hay infinitos triples pitagóricos $(a, b, c)$ avec $b=a+1$ Véase, por ejemplo

Un conjunto infinito de números enteros positivos es necesariamente ilimitado, por lo tanto $$ \frac{a}{b} = 1 - \frac{1}{a+1} $$ puede ser arbitrariamente cercano a uno para estas triplas.

0voto

poetasis Puntos 59

Demostraremos que la relación máxima entre el cateto corto y el cateto largo es $3/4$ contrastándola con la relación entre la pierna larga y la corta.

Para los triples pitagóricos (si insistimos en que el lado-A es impar) no siempre se da el caso de que $A<B<C$ . Por ejemplo $(15,8,17)\quad (35,12,27)\quad (63,16,65)...\quad$

Si en la fórmula de Euclides $ (A=m^2-k^2,\quad B=2mk,\quad C=m^2+k^2)$ dejamos que $(m,k)$ sea $(2n-1+k,k)$ y que $k=1$ llegamos a una fórmula que facilita ver cómo $A/B$ puede maximizarse.

$$A=4n^2-1\quad B=4n\quad C=4n^2+1\implies R=\frac{A}{B}=f(n)=\frac{4n^2-1}{4n}$$ He aquí algunos ejemplos $F(n)\rightarrow (A,B)$ representado como $n(A,B)$ $$1(3,4)\quad 2(15,8)\quad 3(35,12)\quad 4(63,16)\quad ...\quad 25(2499,100):(R=24.99)$$

Podemos ver por esta progresión que la relación $RnA/B$ puede crecer indefinidamente con $n$ .

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg(\frac{4n^2-1}{4n}\bigg)=\infty$$

Como alternativa, si dejamos que $(m,k)$ sea $(2n-1+k,k)$ y $n=1$ encontramos que $B/A$ crece más rápido.

$$A=2k+1\quad B=2 k^2 + 2 k\quad C=2 k^2 + 2 k + 1 \implies R=\frac{B}{A}=f(k)= \frac{2 k^2 + 2 k}{2k+1}$$ donde $$1(3,4)\quad 2(5,12)\quad 3(7.4)\quad 4(9,40)\quad ...\quad 25(51,1300) :(R\approx 25.49)$$

$$\lim_{k\rightarrow\infty} \bigg(\frac{2 k^2 + 2 k}{2k+1}\bigg)=\infty$$

Todas las demás combinaciones de $(n,k)$ crecen más despacio, pero todos los Ratios se aproximan al infinito. En cualquier caso, el primer triple de cualquier serie tiene la mayor relación entre el tramo corto y el largo. $$\therefore R_{max}=\frac{3}{4}$$

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