Intento entender por qué la factorización entera sólo funciona para anillos y no para campos. Mi primera idea fue, que no tienes una cuantificación de unicidad para "números" primos en campos. ¿Es correcto? Estaría bien que alguien me lo explicara.
Saludos.
No hay números primos en un campo. Cada elemento distinto de cero de un campo es un unidad donde una unidad se define como un número $a$ que tiene un inverso multiplicativo. A prime $p$ se define en general como un objeto que no es ni $0$ ni una unidad, y tal que siempre que $p$ divide $ab$ , $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$ . Un objeto $p$ es irreducible si $p$ no es ni $0$ ni una unidad, y siempre que $p=ab$ uno de $a$ o $b$ es una unidad. Así que por definición no hay ni primos ni irreducibles en un campo.
Los elementos primos, irreducibles, etc. se definen en un dominio integral arbitrario. Un dominio integral se denomina factorial (o UFD) si cada no unidad distinta de cero es un producto de elementos primos. Esta descomposición es esencialmente única. Así que esto captura la noción de factorización única de primos en la teoría de anillos. Ahora es trivial verificar que los campos son factorial: No hay no-unidad no-cero en absoluto, por lo que no hay que comprobar nada. En particular, la respuesta a "¿Por qué no funciona la factorización entera para campos?" es: No, ¡funciona! Las respuestas hasta ahora indican que no funciona debido a la ausencia de elementos primos, pero esto no importa.
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