Teorema de Hahn-Banach: 2 versiones

Question

Tengo una pregunta sobre el teorema de Hahn-Banach. Sea la versión analítica definida como: Sea $E$ sea un espacio vectorial, $p: E \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función sublineal y $F$ sea un subespacio de E. Sea $f: F\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función lineal dominada por $p$ (me refiero a $\forall x \in F: f(x) \leq p(x)$ ). Entonces $f$ tiene una extensión lineal $g$ a $E$ avec $g$ dominado por $p$ .

Definamos la versión geométrica del Teorema de Hahn-Banach como: Sea $E$ sea un espacio vectorial topológico, $\emptyset \neq A \subset E$ sea abierta y convexa. Sea $M = V + x$ avec $V$ un subespacio de $E$ y $x \in E$ . Supongamos que $A \cap M = \emptyset$ . Entonces existe un hiperplano cerrado $H$ tal que $M \subset H$ y $H \cap A = \emptyset$ .

Ahora, sé que la versión analítica se demuestra utilizando el Lemma de Zorn y que la versión geométrica se puede derivar de la versión analítica. Mi pregunta es: ¿se puede deducir la versión analítica de la geométrica? No tengo ni idea de cómo empezar a demostrarlo. (Estas versiones son válidas para espacios vectoriales arbitrarios, no sólo para los de dimensión finita).

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Sí, las versiones geométrica y analítica del teorema de Hahn-Banach se siguen la una de la otra. Aquí tienes una prueba de la dirección por la que preguntas:

Considere el espacio $X = E \times \mathbb{R}$ dotado de la topología producto de la topología inducida por $p$ en $E$ y la topología ordinaria en $\mathbb{R}$ . Obsérvese que los funcionales lineales (continuos) $g$ en $E$ corresponden biyectivamente a hiperplanos lineales (cerrados) de $X$ que no contenga $0 \times \mathbb{R}$ mediante la identificación de $g$ con su gráfico $\{(x,g(x))\,:\,x \in E\}$ .

Sea $\Gamma = \{(x,f(x))\,:x \in F\}$ sea la gráfica de $f$ . Entonces $\Gamma$ es disjunta del cono convexo $$ C = \{(x,t)\,:\,p(x) \lt t\} \subset X $$ desde $f$ está dominada por $p$ : si $(x,t) \in \Gamma$ entonces $t = f(x) \leq p(x)$ Así que $(x,t) \notin C$ .

Dado que el cono $C$ está abierto en $X$ la versión geométrica del teorema de Hahn-Banach implica que existe un hiperplano $H \supset \Gamma$ de $X$ , disjuntos de $C$ . En particular debemos tener para todo $(x,t) \in H$ que $t \leq p(x)$ . Tenga en cuenta que $(0,0) \in \Gamma \subset H$ Así que $H$ es un lineal subespacio. Dado que $(0,1) \in C$ tenemos que $0 \times \mathbb{R}$ no está contenido en $H$ por lo que el hiperplano $H$ es la gráfica de una función lineal $g$ en $E$ . Desde $H \supset \Gamma$ hemos encontrado la gráfica de una extensión $g$ de $f$ satisfaciendo $g(x) \leq p(x)$ para todos $x \in X$ .

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Nota: Es posible demostrar la forma geométrica del teorema de Hahn-Banach mediante una aplicación directa del lema de Zorn; véase, por ejemplo, el libro de Schaefer sobre espacios vectoriales topológicos, capítulo II, Teorema 3.1, página 46 .